第十一章微分方程 共轭复根，故原方程的通解为： y=(C+Czx)cosx+(C;+Cax)sinx, 其中C,C,C,C,为任意常数 例22设fx)=sinx-(x-t)f0)d,其中fx)为连续函数，求fx), 分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程，但是x-)0)d的被积函数中含有x,不能直接求导， 先要将其提到积分号外然后才能求导。 解因为f(x)为连续函数，故 sinx-[(x-t)f(t)dt 为可导函数，对题设等式两边关于x求导得 f(x)=cosx-[x[f(tdi-[f(t)dt =cosx-f(r)di-xf(x)+xf(x)=cosx-f(1)di, 再对上式两边关于x求导得 f(x)+f(x)=-sinx, 该方程对应的齐次方程的特征方程为+1=0，得r=出，则齐次方程的通解为 =C cosx+C2 sinx, 其中C、C:为任意常数.下面求非齐次方程 f(x)+f(x)=-sinx 的一个特解。由于r=出是特征方程的单根，故所求非齐次方程的特解形如 y*=x(acosx+bsinx), 于是将y*代入该非齐次方程中比较系数可得b=0,口=弓，则该非齐次方程的通解为 ()=Cicosx+C:sinx+xcsx 其中C、C,为任意常数.由题设等式 393 第十一章 微分方程 393 共轭复根，故原方程的通解为： 1 2 3 4 y C C x x C C x x = + + + ( )cos ( )sin ， 其中 1 2 3 4 C C C C , , , 为任意常数． 例 22 设 0 ( ) sin ( ) ( ) x f x x x t f t dt = − −  ，其中 f x( ) 为连续函数，求 f x( ) ． 分析 条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程，但是 0 ( ) ( ) x x t f t dt −  的被积函数中含有 x ，不能直接求导， 先要将其提到积分号外然后才能求导． 解 因为 f x( ) 为连续函数，故 0 sin ( ) ( ) x x x t f t dt − −  为可导函数，对题设等式两边关于 x 求导得 0 0 ( ) cos [ ( ) ( ) ] x x f x x x f t dt tf t dt   = − −   0 0 cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) x x = − − + = − x f t dt xf x xf x x f t dt   ， 再对上式两边关于 x 求导得 f x f x x ( ) ( ) sin + = − ， 该方程对应的齐次方程的特征方程为 2 r + =1 0 ，得 r i = ，则齐次方程的通解为 1 2 y C x C x = + cos sin ， 其中 C1 、 C2 为任意常数．下面求非齐次方程 f x f x x ( ) ( ) sin + = − 的一个特解．由于 r i = 是特征方程的单根，故所求非齐次方程的特解形如 y x a x b x * ( cos sin ) = + ， 于是将 y * 代入该非齐次方程中比较系数可得 b = 0 ， 1 2 a = ，则该非齐次方程的通解为 1 2 1 ( ) cos sin cos 2 f x C x C x x x = + + ， 其中 C1 、 C2 为任意常数．由题设等式