第十一章微分方程 f(x)=sinx-[(x-1)f(t)dt 可知存在隐含初始条件f0)=0,又由 f"(x)=cosx-∫广fu)t 可知f0)=1,将/0)=0与∫0)=1代入上述非齐次方程的通解中解得G=0,G=方 故 f(x)=(sinx+xcosx). 例23求微分方程y+2y-3y=e的通解. 解原方程对应的齐次方程的特征方程为2+2r-3=0,其两个根为r=1,5=-3: 而对于非齐次项e2,九=乃=-3为特征方程的单根，故非齐次方程有形如*=e的 特解，代入原方程可得口=-片故所求通解为 y=Ce+Ce-尊e, 其中C、C,为任意常数. 例24求下列各非齐次线性微分方程的通解。 (1)y°-2y-3y=3x+1: (2)y+4y+4y=e2: (3)y*+2y'+2y=e'sinx;(4)y"-3y/+2y=4x+e2+10e*cosx. 解(1)先求原方程对应的齐次方程y-2y-3y=0的通解，对应齐次方程的特 征方程为r2-2r-3=0,解得r=3,5=-l,则对应的齐次方程的通解为y=C+C,e, 其中C,C,为任意常数.下面再求非齐次线性方程的一个特解。 fx)=3x+1属于f(x)=e“P(x)型，其中元=0，m=1,又元=0不是特征根，故 原方程有形如y*=xQ(xe“k=0,m=L,=0)的特解，可设y*=A+Bx,其中AB为 待定常数，将y*=A+Bx代入原方程，得到-2B-3A-3Br=3x+1,比较系数得 394第十一章 微分方程 394 0 ( ) sin ( ) ( ) x f x x x t f t dt = − −  可知存在隐含初始条件 f (0) 0 = ，又由 0 ( ) cos ( ) x f x x f t dt  = −  可知 f (0) 1 = ，将 f (0) 0 = 与 f (0) 1 = 代入上述非齐次方程的通解中解得 1 C = 0 ， 2 1 2 C = ， 故 1 ( ) (sin cos ) 2 f x x x x = + ． 例 23 求微分方程 3 2 3 x y y y e −   + − = 的通解． 解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 2 r r + − = 2 3 0 ，其两个根为 1 2 r r = = − 1, 3 ； 而对于非齐次项 x e  ， 2  = = − r 3 为特征方程的单根，故非齐次方程有形如 3 * x y axe − = 的 特解，代入原方程可得 1 . 4 a = − 故所求通解为 3 3 1 2 4 x x x x y C e C e e − − = + − ， 其中 C1 、 C2 为任意常数． 例 24 求下列各非齐次线性微分方程的通解． （1） y y y x   − − = + 2 3 3 1 ； （2） 2 4 4 x y y y e −   + + = ； （3） 2 2 sin x y y y e x −   + + = ； （4） 2 3 2 4 10 cos x x y y y x e e x −   − + = + + ． 解 （1）先求原方程对应的齐次方程 y y y   − − = 2 3 0 的通解，对应齐次方程的特 征方程为 2 r r − − = 2 3 0 ，解得 1 2 r r = = − 3, 1, 则对应的齐次方程的通解为 3 1 2 x x y C e C e− = + ， 其中 1 2 C C, 为任意常数．下面再求非齐次线性方程的一个特解． f x x ( ) 3 1 = + 属于 ( ) ( ) x m f x e P x  = 型，其中  = 0 ， m =1 ，又  = 0 不是特征根，故 原方程有形如 * ( ) ( 0, 1, 0) k x m y x Q x e k m  = = = =  的特解，可设 y A Bx * = + ，其中 AB, 为 待定常数，将 y A Bx * = + 代入原方程，得到 − − − = + 2 3 3 3 1 B A Bx x ，比较系数得