第十一章微分方程 A=B=-小，从而)产=}x,则原方程的通解为 y=c+ce-+写 其中C,C,为任意常数， (2)所给方程对应的齐次方程的特征方程为2+4+4=0，即（心+2}2=0，有二重 根r==-2,而fx)=e“属于e“P.(x)型，对于非齐次项e2“,1=-2为二重根.故 可设非齐次方程的特解为产=m。,代入原方程可得a=方故所求通解为 y=(C+C+ 其中C、C,为任意常数. (3)解法1由于fx)=esinx,属于非齐次项为 f(x)=e[P(x)cos@x+P(x)sin@x] 型的非齐次线性微分方程，其中1=-1，P(x)=0,P.(x)=1,0=1,其相应的齐次线性微 分方程为y+2y+2y=0,特征方程为2+2r+2=0,求得特征根5=-1+i,5=-1-i, 故该齐次方程的通解为 y=e(G cosx+Ca sinx), 由于r=-1±1是特征根，故原方程有形如 y'=xe [R(x)cosox+S(x)sinox] 的特解，这里k=L,入=-L,0=Lm=0,即原方程的一个特解可设为： y=e(Axcosx+Brsinx), 代入原方程得 2A(-e'cosx-e*sinx)+2B(-e-sinx+e'cosx)+2Ae *cosx+2Be*sinx=e*sinx, 比较方程两边的系数，得A=-,B=0,故原方程的特解为： 395 第十一章 微分方程 395 1 , 1 3 A B = = − ，从而 1 * 3 y x = − ，则原方程的通解为 3 1 2 1 3 x x y C e C e x − = + − + ， 其中 1 2 C C, 为任意常数． （2）所给方程对应的齐次方程的特征方程为 2 r r + + = 4 4 0 ，即 2 ( 2) 0 r + = ，有二重 根 1 2 r r = = −2 ，而 2 ( ) x f x e− = 属于 ( ) x m e P x  型，对于非齐次项 x e  ， = −2 为二重根．故 可设非齐次方程的特解为 2 2 * x y ax e − = ，代入原方程可得 1 2 a = ，故所求通解为 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 x x y C C x e x e − − = + + ， 其中 C1 、 C2 为任意常数． （3）解法 1 由于 ( ) sin x f x e x − = ，属于非齐次项为 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x  = +   型的非齐次线性微分方程，其中  =−1， ( ) 0, ( ) 1, 1 P x P x l n  = =  ，其相应的齐次线性微 分方程为 y y y   + + = 2 2 0 ，特征方程为 2 r r + + = 2 2 0 ，求得特征根 1 2 r i r i = − + = − − 1 , 1 ， 故该齐次方程的通解为 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x − = + ， 由于 r i = − 1 是特征根，故原方程有形如   * ( )cos ( )sin k x m m y x e R x x S x x  = +   的特解，这里 k = = − 1, 1,   =1, m = 0 ，即原方程的一个特解可设为： * ( cos sin ) x y e Ax x Bx x − = + ， 代入原方程得 2 ( cos sin ) 2 ( sin cos ) x x x x A e x e x B e x e x − − − − − − + − + + 2 cos 2 sin sin x x x Ae x Be x e x − − − + = ， 比较方程两边的系数，得 1 , 0 2 A B = − = ，故原方程的特解为：