第十一章微分方程 ”=-2 从而原方程的通解为 Cco+C.sin). 其中C、C,为任意常数. 解法2求其对应的齐次方程的通解同解法1，在求非齐次线性微分方程 y+2y+2y=e'sinx 的一个特解时，可利用复数法求。考虑方程 ++2==e"(cosx+isinx) 即：”+22+2：=e-+r,属于非齐次项为f(x)=e“P(x)型的非齐次线性微分方程，由 于2=-1+i是对应齐次方程的特征根，故可设其一个特解为：。(x)=rr,将其代入 方程 +2'+2:=e(cosx+isinx) 可得 2(-1+i)e-I+2Ae-=e-n 得A=乞于是特解 sins-cos" 取o(x)的虚部便可得到原方程y+2y+2y=esinx的一个特解为 y=-e'cosx. 于是得原方程的通解为 +C;sin 其中C、C,为任意常数 (4)该方程的非齐次项由 396第十一章 微分方程 396 1 * cos 2 x y xe x − = − ． 从而原方程的通解为 1 2 1 cos ( cos sin ) 2 x x y xe x e C x C x − − = − + + ， 其中 C1、C2 为任意常数． 解法 2 求其对应的齐次方程的通解同解法 1，在求非齐次线性微分方程 2 2 sin x y y y e x −   + + = 的一个特解时， 可利用复数法求．考虑方程 2 2 (cos sin ) x z z z e x i x −   + + = + ， 即 ( 1 ) 2 2 i x z z z e − +   + + = ，属于非齐次项为 f x( ) = ( ) x m e P x  型的非齐次线性微分方程， 由 于  = − +1 i 是对应齐次方程的特征根，故可设其一个特解为 ( 1 ) 0 ( ) i x z x Axe − + = ，将其代入 方程 2 2 (cos sin ) x z z z e x i x −   + + = + 可得 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) 2 i x i x i x i Ae Ae e − + − + − + − + + = ， 得 , 2 i A = − 于是特解 ( 1 ) 0 ( ) ( sin cos ) 2 2 2 i x x i x i z x xe x x x e − + − = − = − ， 取 0 z x( ) 的虚部便可得到原方程 2 2 sin x y y y e x −   + + = 的一个特解为 * cos . 2 x x y e x − = − 于是得原方程的通解为 1 2 1 cos ( cos sin ) 2 x x y xe x e C x C x − − = − + + ， 其中 C1 、 C2 为任意常数． （4）该方程的非齐次项由