第十一章微分方程 f(x)=x.(x)=e2(x)=10e-cosx 构成，根据非齐次线性微分方程解的叠加原理求其特解： 原方程对应的齐次方程y-3y+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0,其特征根为 5=l,5=2,故对应的齐次方程的通解为y=Ce+C,2,其中C、C,为任意常数 a.对于非齐次线性微分方程y-3y+2y=4x,元=0不是特征方程的根，故可设 其特解为片=4+B,代入该非齐次方程，得A=2,B=3,从而其特解为片=2x+3: b.对于非齐次方程y-3y+2y=e2,，元=2是特征方程的单根，故可设其特解为 y=e2,代入该非齐次方程得A=1,从而其特解为为=x2 c.对于非齐次线性微分方程y-3y+2y=10 e-cosx,=-1+i不是特征方程的根 故可设其特解为片=e(Acosx+Bsinx),代入该非齐次线方程得A=lB=-,从而其 特解为为=e'(cosx-sin): 根据解的叠加原理与通解结构定理可得原方程的通解为y=y+片+乃+乃，即所求 通解为 y=Ce'+C:e+2x+3+xe+e(cosx-sinx), 其中C,、C,为任意常数 注对于fx)=e“[P(x)COSOX+P.(x)sinx]类型的特殊情形： f(x)=A(x)e cos Bxf(x)=B(x)e sin Bx 均可用(3)中的解法2来求特解，其中A(x),B(x)为实系数多项式. 例25(03研)设函数y=(x)在(-0，+∞)内具有二阶导数，且y≠0，x=x(y)是 y=x)的反函数。 1)试将x=0)所满足的微分方程 =0变换为y=x)满足 397 第十一章 微分方程 397 2 1 2 3 ( ) , ( ) , ( ) 10 cos x x f x x f x e f x e x − = = = 构成，根据非齐次线性微分方程解的叠加原理求其特解； 原方程对应的齐次方程 y y y   − + = 3 2 0 的特征方程为 2 r r − + = 3 2 0 ，其特征根为 1 2 r r = = 1, 2 ，故对应的齐次方程的通解为 2 1 2 x x y C e C e = + ，其中 C1 、C2 为任意常数； a．对于非齐次线性微分方程 y y y x   − + = 3 2 4 ，  = 0 不是特征方程的根，故可设 其特解为 1 y Ax B = + ，代入该非齐次方程，得 A B = = 2, 3 ，从而其特解为 1 y x = + 2 3 ； b．对于非齐次方程 2 3 2 x y y y e   − + = ， = 2 是特征方程的单根，故可设其特解为 2 2 x y Axe = ，代入该非齐次方程得 A =1 ，从而其特解为 2 2 x y xe = ； c．对于非齐次线性微分方程 3 2 10 cos x y y y e x −   − + = ， = − +1 i 不是特征方程的根， 故可设其特解为 3 ( cos sin ) x y e A x B x − = + ，代入该非齐次线方程得 A B = = − 1, 1 ，从而其 特解为 3 (cos sin ) x y e x x − = − ； 根据解的叠加原理与通解结构定理可得原方程的通解为 1 2 3 y y y y y = + + + ，即所求 通解为 2 2 1 2 2 3 (cos sin ) x x x x y C e C e x xe e x x − = + + + + + − ， 其中 C1 、 C2 为任意常数． 注 对于 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x  = +   类型的特殊情形： ( ) ( ) cos x f x A x e x  =  与 ( ) ( ) sin x f x B x e x  =  均可用（3）中的解法 2 来求特解，其中 A x B x ( ), ( ) 为实系数多项式． 例 25（03 研） 设函数 y y x = ( ) 在 ( , ) − + 内具有二阶导数，且 y   0 ，x x y = ( ) 是 y y x = ( ) 的反函数． （1）试将 x x y = ( ) 所满足的微分方程 3 2 2 ( sin ) 0 d x dx y x dy dy   + + =     变换为 y y x = ( ) 满足