第十一章微分方程 的微分方程， (2)求变换后的微分方程满足初始条件0)=0，y0)=三的解。 分析由反函数导数公式，把女，用含有y及y的各阶导数的函数表示，代 入题设等式验证即可. 解)由反函数号数公式知客)甲y帝，得对该式两缩关于求号， 得 y$票or-0, 所以 代入原微分方程可得 y'-y=sinx. (2)方程y-y=sinx所对应的齐次方程y-y=0的通解为Y=Ce+C,e,设该 非齐次方程的特解为 y*=Acosx+Bsinx, 代入可得4=0B=宁故 从而y"-y=sinx的通解是 -Ge'ce-sms 其中G、C,为任意常数.由0)=0，y0=号，得G=1,G=-1.故所求初值问题 的解为 y=e-e-sinx. 例26求方程x2y+2y-2y=x的通解. 分析此方程为欧拉方程，作变量代换x=求解第十一章 微分方程 398 的微分方程． （2）求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) 0 = ， 3 (0) 2 y  = 的解． 分析 由反函数导数公式， 把 dx dy ， 2 2 d x dy 用含有 y 及 y 的各阶导数的函数表示， 代 入题设等式验证即可． 解 （1）由反函数导数公式知 dx 1 dy y =  ，即 1 dx y dy  = ，再对该式两端关于 x 求导， 得 2 2 2 ( ) 0 dx d x y y dy dy   + = ， 所以 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) dx y d x y dy dy y y −   = = −   ， 代入原微分方程可得 y y x  − = sin ． （2）方程 y y x  − = sin 所对应的齐次方程 y y  − = 0 的通解为 1 2 , x x Y C e C e− = + 设该 非齐次方程的特解为 y A x B x * cos sin = + ， 代入可得 1 0, 2 A B = = − ，故 1 * sin 2 y x = − ， 从而 y y x  − = sin 的通解是 1 2 1 ( ) sin 2 x x y x C e C e x − = + − ， 其中 C1 、 C2 为任意常数．由 y(0) 0 = ， 3 (0) 2 y  = ，得 1 C =1 ， 2 C = −1. 故所求初值问题 的解为 1 sin 2 x x y e e x − = − − ． 例 26 求方程 2 x y xy y x   + − = 2 2 的通解． 分析 此方程为欧拉方程，作变量代换 t x e = 求解．