第十一章微分方程 解当x>0时，作变换x=e,或t=nx,则有 原方程化为 杂会2= 对应的齐次方程为 盘2=0 其通解为 y=Ce'+Ce, 非齐次方程会·空2=的特解可设为产=能，代入该方程得产一女，放就酒 解为 y-Ce+Ce 其中C、C,为任意常数.即原方程在x>0时的通解为 y=C+Cx+xx 当x<0时，令x=-,类似地，可求出原方程在x<0时的通解为 y=Cx+Cr2+写xlh-x. 综上所述，原方程的通解为 y=Cx+Cx+写nlx, 其中C、C,为任意常数 例27设有连接点00,0)与4L)的一条上凸的曲线弧OA,对于其上任一点 M(x,y),曲线弧OM与直线段OM围成的图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程. 399 第十一章 微分方程 399 解 当 x  0 时，作变换 t x e = ，或 t x = ln ，则有 dy dy dt dy 1 dx dt dx x dt =  = ， 2 2 2 2 2 1 ( ) d y d y dy dx x dt dt = − ， 原方程化为 2 2 2 d y dy t y e dt dt + − = ． 对应的齐次方程为 2 2 2 0 d y dy y dt dt + − = ， 其通解为 2 1 2 t t y C e C e− = + ， 非齐次方程 2 2 2 d y dy t y e dt dt + − = 的特解可设为 * t y Ate = ，代入该方程得 1 * 3 t y te = ，故其通 解为 2 1 2 1 3 t t t y C e C e te − = + + ， 其中 C1 、 C2 为任意常数．即原方程在 x  0 时的通解为 2 1 2 1 ln 3 y C x C x x x − = + + ． 当 x  0 时，令 t x e =− ，类似地，可求出原方程在 x  0 时的通解为 2 1 2 1 ln( ) 3 y C x C x x x − = + + − ． 综上所述， 原方程的通解为 2 1 2 1 ln | | 3 y C x C x x x − = + + ， 其中 C1 、 C2 为任意常数． 例 27 设有连接点 O(0,0) 与 A(1,1) 的一条上凸的曲线弧 OA ，对于其上任一点 M x y ( , ) ，曲线弧 OM 与直线段 OM 围成的图形的面积为 2 x ，求曲线弧 OA 的方程．