第十一章微分方程 分析如图11一1所示，利用定积分的几何意义即可求 出曲线弧OM与直线段OM围成的图形的面积，利用已知条 件，可得一个含有未知函数的积分方程，对其求导得一微分 方程，解之即可. 解设曲线弧04的方程为y=x),由题设其上任一点 Mx,y)的坐标满足x≥0，y≥0，曲线弧OA与直线段OM围 图11一1 成的图形的面积 s=6-g 依题意有S=x2,即 =-w 两端对x求导，整理得 盘4 于是所求问题转化为初值问题 I)=1 解此微分方程，得通解 y=x(C-4Inx), 将初始条件代入得C=1,所以 y=x(1-4Inx). 综上所述，曲线弧OA的方程为： 「x1-4lnx)0<x≤1 y10, x=0 例28在上半平面求一条向上四的曲线，其上任一点Px,)处的曲率等于此曲线在 该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(L,)处的切线与x轴 平行. 解设所求曲线为y=(x,由题意，有(x)>0,y>0,则(x)上的点Px,)处 400第十一章 微分方程 400 分析 如图 11－1 所示，利用定积分的几何意义即可求 出曲线弧 OM 与直线段 OM 围成的图形的面积，利用已知条 件，可得一个含有未知函数的积分方程，对其求导得一微分 方程，解之即可． 解 设曲线弧 OA 的方程为 y y x = ( ) ，由题设其上任一点 M x y ( , ) 的坐标满足 x  0, y  0 ，曲线弧 OA 与直线段 OM 围 成的图形的面积 0 1 2 x S ydx xy = −  ， 依题意有 2 S x = ，即 2 0 1 2 x x ydx xy = −  ， 两端对 x 求导，整理得 1 4 dy y dx x − = − ， 于是所求问题转化为初值问题 1 4 (1) 1 dy y dx x y   − = −    = ， 解此微分方程，得通解 y x C x = − ( 4ln ) ， 将初始条件代入得 C =1 ，所以 y x x = − (1 4ln ) ． 综上所述，曲线弧 OA 的方程为： (1 4ln ), 0 1 0, 0 x x x y x  −   =   = ． 例 28 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P x y ( , ) 处的曲率等于此曲线在 该点的法线段 PQ 长度的倒数（ Q 是法线与 x 轴的交点），且曲线在点 (1,1) 处的切线与 x 轴 平行． 解 设所求曲线为 y y x = ( ) ，由题意，有 y x( ) 0  ， y   0 ，则 y x( ) 上的点 P x y ( , ) 处 x y o x M x y ( , ) A(1,1) 1 图 11－1