解设所求向量y=(化，y,),依题意，1y1,可得x2+y2+2=1:由y1c可得 yc=0,即2x-2y+:=0:由y与a,b共面可得[ab]=0,即 100 01-2=2y+:=0. x y 将上述三式联立解得 x号写=子或者x=号=片号 所以 y=533 例8已知点M到平面：=1的距离等于它到：轴的距离的2倍，又点M到点么，-1,0)的 距离为1，求点M的轨迹方程. 解设点M的坐标为(x,y,),则 -=2R+y 即 4x2+y2)=e-2. 又M4=1,即 x-2+0y+1+2=1 则所求轨迹曲线方程为 4x2+12)=(:-1) 1(x-2y2+0+2+:2=1. 例)求曲线：+3上=9绕：轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程 y=0 分析曲线化月=0绕x轴族转所得旋转曲面方程为：P+F)=0.因为曲线 :=0 上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标x不变：二是所求曲面上的点到x轴的距离不 变，所以只需将y换成±√P+。一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上 的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应 的那个变量不变，而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方 根。 解法1设M,(%)是给定曲线上的一点，当曲线转动时，点Mo(,)转到解 设所求向量  = ( , , ) x y z ，依题意, | | 1  = ，可得 2 2 2 x y z + + =1 ；由  ⊥ c 可得   = c 0 ，即 2 2 0 x y z − + = ；由  与 a ，b 共面可得 [ ] 0 ab = ，即 1 0 0 0 1 2 x y z − = + = 2 0 y z ． 将上述三式联立解得 2 3 x = ， 1 3 y = ， 2 3 z = − ，或者 2 3 x = − ， 1 3 y = − ， 2 3 z = ． 所以 2 1 2 ( , , ) 3 3 3  =  − ． 例 8 已知点 M 到平面 z =1 的距离等于它到 z 轴的距离的 2 倍，又点 M 到点 (2,- 1,0) 的 距离为 1 ，求点 M 的轨迹方程． 解 设点 M 的坐标为 ( , , ) x y z ,则 2 2 z x y − = + 1 2 ， 即 2 2 2 4( ) ( 1) x y z + = − ． 又 MA =1 ，即 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y z − + + + = , 则所求轨迹曲线方程为 2 2 2 2 2 2 4( ) ( 1) ( 2) ( 1) 1. x y z x y z  + = −   − + + + = 例 9 求曲线 2 2 3 9 0 x z y  + =   = 绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程． 分析 曲线 ( , ) 0 0 f x y z  =   = 绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程为 2 2 f x y z ( , ) 0  + = ．因为曲线 上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标 x 不变；二是所求曲面上的点到 x 轴的距离不 变，所以只需将 y 换成 2 2  + y z ．一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上 的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应 的那个变量不变,而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方 根． 解法 1 设 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 是给定曲线上的一点，当曲线转动时，点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 转到