数 现在~据B函数和r函数的关系式 T(pr(q) T(p+q) 证T函数的两个性,即互余宗量定理 就 r(x)r(1-2) 和倍公式 r(2z)=2 (2)r(z+ 先证明互余宗量定理,在(★)式中令p=2,q=1-z r(z)r(1-2) 2 r(1) r(z)r(1-2) 另一方面, B(2,1-2)=/+2-1(1-t 令x=t/(1-t),上式即可化为 1+x 这个积分在第7.6中已经面算过,这样就证得 r(z)r(1-)=B(z,1-2)= 这个证明当然是在0<Rez<1的条件下得到的.但是,由于等式的两端在全平面都解析,因此, 这个等式在全平面均成的.口 证明倍公式.这可以通过积分 (1-x2)2-dr, Rez 的面算得到.令x2=t,则得 1)r(z)r(1/2) T(z+1/2) 作变换1+x=2t,1-x=2(1-t),则有另一种形式的结果 (1-x2) =22-B(a,2)=22-1(2)r(2)￾✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 11 ✝ ⑧ ❉ ✌✍ B ✓✔➟ Γ ✓✔✕➃➨ ➼ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . (F) ➚❤ Γ ✓✔✕❖✢➆❧ ✪ ➚❣❤✐✮ ✙✱ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz ➟ ➂ ❢❥➼ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ  z + 1 2  . ❯❤ ✐❣❤✐✮ ✙✱✪ ❉ (F) ➼ ✬➲ p = z, q = 1 − z ✪ B(z, 1 − z) = Γ (z) Γ (1 − z) Γ (1) = Γ (z) Γ (1 − z). ➳❄➻❝✪ B(z, 1 − z) = Z 1 0 t z−1 (1 − t) −zdt. ➲ x = t/(1 − t) ✪②➼➚❢➪ ✦ B(z, 1 − z) = Z ∞ 0 x z−1 1 + x dx. ✜✢✣✤❉ ✧ 7.6 ❦ ✬➶➹➘➴➷✪✜❹❧❤ ➀ Γ (z) Γ (1 − z) = B(z, 1 − z) = π sin πz . ✜✢❤ ✐❨❳ ✛❉ 0 < Re z < 1 ✕ö÷ø➀➍✕✳ù✛✪ ❡ s ú➼✕❖ ❊❉❛❜❝➊✲❞✪❃ ⑥ ✪ ✜✢ú➼❉❛❜❝⑨◆➬ ✳ ➮❤ ✐➂ ❢❥➼✳✜ ❢ ❏ ➜ ➷✣✤ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1 dx, Re z > 0 ✕ ➘➴➀➍✳➲ x 2 = t ✪q ➀ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1dx = 2 Z 1 0 (1 − x 2 ) z−1dx = Z 1 0 (1 − t) z−1 t −1/2dt = B  z, 1 2  = Γ (z) Γ (1/2) Γ (z + 1/2) . ➱❵✭➵ 1 + x = 2t ✪ 1 − x = 2(1 − t) ✪q⑩ ➳❄✃④➼✕➩õ➯ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1dx = 22z−1 Z 1 0 t z−1 (1 − t) z−1dt = 22z−1B(z, z) = 22z−1 Γ (z) Γ (z) Γ (2z) .