§84B函数 B函数是由第一类 Euler积分定义的: (P,q) 1 令t=sin20,还可以得到B函数的另一个表达式 B(p, q) m2p-10 c0s2q-10 de 在B函数的定义中作变换s=1-t,就可以得到 B 即B(P,q)对于p和q是对称的 P B B函数可以用r函数表示出来 (P,q) (p)r(a) (P+q) 证在Rep>0,Req>0的条件下,显然有 A r(g)=2/e-vy2q-1dy 于是 r(p)r(q)=4 A+2y2 θ,得 r()r(o)=4//e(sm9(9 2(p+q)-Idr/ sin2p-lBcos2q-1ade r(p+q)B(P,q).口 利用这个关糸式,可把B函数解析延拓到p和q的全平面 从这个关糸式,也可以清楚地看出B(p,q)对于p和q是对称的§8.4 B ✄ ☎ ✆ 10 ✝ §8.4 B ☞ ✌ B ✓✔✛ ❡✧ ❄ ✩ Euler ✣✤✙✚✕➯ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1dt, Re p > 0, Re q > 0. ➲ t = sin2 θ ✪ ➫❢ ❏ ➀➍ B ✓✔✕➳❄ ✢❦þ➼ B(p, q) = 2 Z π/2 0 sin2p−1 θ cos2q−1 θ dθ. ❉ B ✓✔✕✙✚ ✬❵✭➵ s = 1 − t ✪❧❢ ❏ ➀➍ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1 dt = Z 0 1 (1 − s) p−1 s q−1 (−ds) = Z 1 0 s q−1 (1 − s) p−1 ds, ➚ B (p, q) rs p ➟ q ✛ r✥ ✕➯ B (p, q) = B (q, p). B ✓✔❢❏ ✘ Γ ✓✔❦➸ ➝ ◗✪ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . ☞ ❉ Re p > 0 ✪ Re q > 0 ✕ö÷ø✪❲❳⑩ Γ (p) = Z ∞ 0 e −t t p−1dt = 2 Z ∞ 0 e −x 2 x 2p−1dx, Γ (q) = 2 Z ∞ 0 e −y 2 y 2q−1dy. s ✛ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z ∞ 0 e −(x 2+y 2 )x 2p−1 y 2q−1dxdy. ➲ x = r sin θ ✪ y = r cos θ ✪ ➀ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z π/2 0 e −r 2 (r sin θ) 2p−1 (r cos θ) 2q−1 rdrdθ = 4 Z ∞ 0 e −r 2 r 2(p+q)−1 dr Z π/2 0 sin2p−1 θcos2q−1 θdθ = Γ (p + q) B(p, q). ➺❰✏✑ ✵✶❃✪ëP B ➮➱ÛÜáâã p ✫ q ➬ÙÚ ➘ ✳ ✕✏✑ ✵✶❃✪✻ë ✔➻ ➼➽❱ ➾ B (p, q) ✎Ï p ✫ q ×✎➣➬ ✳