两个相等的实根1,z y=(C+C2x et 对共轭复根巧12=c±1A y=e (Cr cos Bx+C2 sin Bx) 例1求微分方程y”-2y-3y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为 r2-2r-3=0 其根=-1,n2=5是两个不相等的实根,因此所求通解为 y=CHe+C +2=+s=0 例2求方程dt2at 满足初始条件SL-0=4,S=-2的特解。 解所给方程的特征方程为 其根==-1是两个相等的实根,因此所求微分方程的通解为 (C1+C2)e 将条件S-0=4代入通解,得C1=4,从而 (4+C2) 将上式对t求导,得 s 再把条件S=-2代入上式,得C2=2。于是所求特解为 (4+2) 例3求微分方程y"-2y+5y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为 其根2=1±2 为一对共轭复根,因此所求通解为 e(Cocos 2x+C2 sin 2x) 例4在第八节例1中,设物体只受弹性恢复力了的作用,且在初瞬t=0时的位置为 x=,初始速度为边b0=1。求反映物体运动规律的函数x=x0 解由于不计阻力R,即假设d=,所以第八节中的方程(1)成为 +2x=0 方程(4)叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反映物体运动规律的函数x=x()是满足微分方程(4)及初始条件 =Y0的特解 方程(4)的特征方程为r2+k2=0,其根r=垃k是一对共轭复根,所以方程 (4)的通解为 x=C1cosk+C2ink。 C1=x,C2=1 应用初始条件,定出 k。因此,所求的特解为两个相等的实根 一对共轭复根 例1 求微分方程 的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 其根 是两个不相等的实根，因此所求通解为 例2 求方程 满足初始条件 ， 的特解。 解 所给方程的特征方程为 其根 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 将条件 代入通解，得 ，从而 将上式对 求导，得 再把条件 代入上式，得 。于是所求特解为 例3 求微分方程 的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 其根 为一对共轭复根，因此所求通解为 例4 在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力 的作用，且在初瞬 时的位置为 ，初始速度为 。求反映物体运动规律的函数 。 解 由于不计阻力 ，即假设 ，所以第八节中的方程（1）成为 （4） 方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反 映 物 体 运 动 规 律 的 函 数 是 满 足 微 分 方 程 （ 4 ） 及 初 始 条 件 的特解。 方程（4）的特征方程为 ，其根 是一对共轭复根，所以方程 （4）的通解为 。 应用初始条件，定出 。因此，所求的特解为