0<a a+n-1 例6 lim Vn=1 n+n- 证n≥2时,0< limA/5n+3 证(用均值不等式)当n≥9时, 2√n+6+n-3 < 6√√m1…1 例 a 无穷小量:定义 Th(数列极限与无穷小量的关系) Th(有界量与有界量的积) Ex[P43-441(1)(7),2(1)2)5).3, 收敛数列的性质 1.极限唯一性:(证) 2.收敛数列有界性—收敛的必要条件:(证) 3.收敛数列保号性(或保序性) Th1设lima=a,limb=b.若a>b,则彐N,)Vn>N,→a>b,(证) 系1设 lim a=a, lim b=b若丑N,Ⅶn>N时有an<bn,→a≤b.(注 意“=”;并注意b≡b和b=0的情况) 系2设lima 0(或<0).则对v0< (或n N n n aa 1个 1110 − ⋅=−< " . " 1 1 1 1 n a n a n na < − =− + − ≤− 例 6 = .1lim∞→ n n n 证 n ≥ 2时， . 222 1 22 10 11 2 n n n n nn nnn n n n < − =− −+ =−< ≤− − =+ 135lim∞→ n n n . 证 （用均值不等式）当 时， n ≥ 9 1 362 111 6161350 − −++ =−=−+< ≤− n nn n n nn n n n " , "" 3332 n n n n n ≤≤ + = 例 8 设 . 1 ,lim 1 ∑= ∞→ == n i n n i n a n Aaa 证明 n aA .limn = ∞→ 无穷小量: 定义. Th ( 数列极限与无穷小量的关系 ). Th （ 有界量与有界量的积 ） Ex [1]P43—44 1 ⑴—⑺，2⑴⑵⑸. 3 , 收敛数列的性质: 1. 极限唯一性：（ 证 ） 2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） 3. 收敛数列保号性(或保序性)： Th 1 设 n bbaa .lim ,lim n n n = = ∞→ ∞→ 若 > ba , 则 . , , ∀ >⇒> baNnN nn ∃ ∋ （ 证 ） 系 1 设 n bbaa .lim ,lim n n n = = ∞→ ∞→ 若∃ ∀ > < baNnN nn , 时有 ， （注 意“ = ” ；并注意 ⇒ ≤ ba . n ≡ bb 和 b = 0的情况 ）. 系 2 设 lim = > ( 0 ∞→ aan n 或< )0 . 则对∀0 < < ar (或 < < Nra ∋∃ , ),0 11