546 应用力学学根 第30卷 的辅助司颗的邮，即 1,0<x<L,0 (x,1,)=f(r),x=0,1>0 5 (x.1.x)=20.x=L.1>0 (x1,)=F(x,0≤x≤L,1=0 2注F()omp 铺助句题是由于边界条件的非客次造成的非 (13 齐次热传导问题，可将该非齐次问题分解成几个简 式叶 单的问题，再分别用分离变量法求解。这里辅助问 题中的非齐次部分都是与时间无关的。 ,c0sm=(-1) 由于问题是一维的，本文将其分解成一个 由此可得 T(x)的稳态问题和一个T(x,)的齐次问题，对应 的公式分别为 B g-0,02 I=f(r),x=0 (6) =20,x=L nF()sin( a'T 1 aT .0<x<L.t>0 2a2 T=0.x=0.x=L.1>0 (7) 如下的积分表示式联系起来，即 =F(x)-T(x)=了(x),0<x<L,1=0 则式(5)的解可由下式求得 T0-号1-rr (x,r)=T(x,t)+T(x,, 式(6)的解为 T,(x)=f)+[20-f]月 (9) 22-旷.n月寸20-ear 对于各种可能的齐次边界条件，大平板中一维 22或F咖 非稳态热传导问题的解可统一表示为 x-立eaa ∫et-rldz 15) 该解在x=0与x=L处都不收敛于边界条件】 其佰因 ∫f(x)x(B,x)dr (10) 是对应于边 那些项都以傅立 形式 而傅立叶级数有 =0 x=L的边界 则式(7)的解可根据式(10)直接得到，即 不均匀收敛 ,解决该难点的方法是 将式(15)进行分 .(.)( 部积分，且将上述级数用下面介绍的等价封闭形式 的表达式表示。 [(x)x(B.x)d (1) 将式(15)写为 其中特征函数X(B,x)、范数N(B)、特征值B。可 由文献6中的附表1得到，即 x(B)=sinBx.N(B.) (12) 光2-旷Asm及.40- 式(5)的解(x,1)可由式(9)和式11)代入式(8)并经 sinF()sin(() 过积分整理后获得，即 (16)546 应 用 力 学 学 报 第 30 卷 的辅助问题的解，即 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () 2 2 ,, ,, 1 ,0 , 0 , , , 0, 0 , , 20, , 0 ,, ,0 , 0 xt xt x Lt x t xt f x t xt x L t xt F x x L t φτ φτ α φτ τ φ τ φ τ ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ∂ ∂ ⎪ ⎪ = => ⎨ ⎪ = => ⎪ ⎪ = = ⎩ ≤ ≤ (5) 辅助问题是由于边界条件的非齐次造成的非 齐次热传导问题，可将该非齐次问题分解成几个简 单的问题，再分别用分离变量法求解。这里辅助问 题中的非齐次部分都是与时间无关的。 由于问题是一维的，本文将其分解成一个 T x s ( ) 的稳态问题和一个T xt h ( , ) 的齐次问题，对应 的公式分别为 ( ) 2 2 d 0,0 d , 0 (6) 20 , s s s T x L x Tf x T xL τ ⎧ ⎪ = << ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎪ ⎩ = = () () () 2 2 1 ,0 , 0 0, 0, , 0 (7) ,0 , 0 h h h h s T T x Lt x t T x x Lt T Fx T x f x x L t α ∗ ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ⎪ ∂ ∂ ⎨ ===> ⎪ ⎪ = − ≡ << = ⎩ 则式(5)的解可由下式求得 φ ( x,, , ,, t T x T xt ττ τ ) = + s h ( ) ( ) (8) 式(6)的解为 ( ) () () , 20 s x Tx f f L ττ τ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (9) 对于各种可能的齐次边界条件，大平板中一维 非稳态热传导问题的解可统一表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 * 0 1 ,, e , , d mt m m m L m x t Xx N f xX x x αβ θ β β β ∞ − = = ⋅ ′ ′′ ∑ ∫ (10) 则式(7)的解可根据式(10)直接得到，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 * 0 1 ,, e , , d mt h m m m L m T xt X x N f xX x x αβ τ β β β ∞ − = = ⋅ ′ ′′ ∑ ∫ (11) 其中特征函数 ( ) , X x β m 、范数 N ( ) β m 、特征值 β m 可 由文献[6]中的附表 1 得到，即 ( ) , sin Xx x β m m = β ， ( ) 1 2 N L β m = (12) 式(5)的解φ ( ) x, ,t τ 可由式(9)和式(11)代入式(8)并经 过积分整理后获得，即 ( ) () ( ) 2 2 2 1 1 0 1 2 1 , , 1 e sin( ) 2 1 20 e sin( ) cos π 2 e sin( ) sin( )d m m m t m m m t m m m L t m m m x xt f x L L x x m L L x Fx x x L αβ αβ αβ φτ τ β β β β β β ∞ − = ∞ − = ∞ − = ⎡ ⎤ = ⎢ −− ⋅ +⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ + ⋅ +⎥ ⎣ ⎦ ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (13) 式中 ( ) π , cos π 1 m m m m L β = = − 由此可得 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 1 2 sin ,, 1 e 2 1 20 e sin 2 e sin sin d m m m t m m m m t m m m L t m m m x x xt f L L x x L L x Fx x x L αβ τ αβ τ αβ τ β φ ττ τ β β β β β ∞ − − = ∞ − − = ∞ − − = ⎡ ⎤ − = −− + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (14) 应用杜哈美尔定理，式(4)的解与式(5)的解可由 如下的积分表示式联系起来，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 1 0 1 2 0 1 0 , , ,d 2 sin e d 2 1 sin 20 e d 2 sin sin d e d (15) m m m t t t m m m m t t m m m L mm m m t t T xt xt t x f L x L x Fx x x L τ αβ τ τ αβ τ τ αβ τ τ φ ττ τ α β β ττ α β β τ αβ β β τ = ∞ − − = = ∞ − − = = ∞ = − − = ∂ = − ∂ = − − ⋅ − ′ ′′ ⋅ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ 该解在 x = 0 与 x = L 处都不收敛于边界条件。 其原因是对应于边界条件的那些项都以傅立叶级数 形式表示，而傅立叶级数在 x = 0 与 x = L 的边界上 不均匀收敛。解决该难点的方法是将式(15)进行分 部积分，且将上述级数用下面介绍的等价封闭形式 的表达式表示。 将式(15)写为 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 0 1 2 , sin 2 1 sin 2 sin sin d m m m m m m m L mm m m T x t xI t L xI t L x F x x xI t L α β β α β β αβ β β ∞ = ∞ = ∞ = = − − − ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (16)