第4别 唐松花，等：火火特况下混凝士板温度场的解析解 545 常有效。但是积分变换法要求逆变换过程可直接进 式(1)的解T(r,),即所求温度场与辅助问题式(2) 行，即在问题开始处理时，这种逆变换的公式必须 的解，)由如下的积分表示式联系起来，即 已具备，这是使用积分变换法的限制， 灾时火场温度及构件边界的温度也随时 Tt小-1-r 3 不断变化，文献6]中的杜哈美尔定理能够分析边界 温度按一定规律随时间变化的热传导问题。本文将 3 应用杜哈美尔定理求解火灾时 应用杜哈美尔定理求解火灾情况下混凝土板温度场 混凝土板的温度场 的解析解。 理论计算中常将混凝土板视为无限大平板（以 2杜哈美尔定理 下简称大平板)，通常可以理解为该平板的长和宽与 厚度相比为无限大。因此无限大平板是 个以两可 行平面为界限的物体 边界条件随时间变化区域内的三维非齐次热 温度只在厚度方向发生变化 不变， 传导问题可表示为 在其它两 问题 维的 (aT(r1 1ar(r1) 如图1所示为 大平板，0≤x≤L in R t>0 L=120mm:初始温度分布为20℃：当时间1>0时 32 a dl x=0和x=L处的边界面分别维持f(0和20℃。 高+AT=c小， on S.1>0 (1) ∫()为模拟火灾时随时间1变化的空气流体温度 T(r,)=F(r) in R.t=0 即大平板的底面受火。下面求解1>0时平板内温度 分布T(x,),即板的温度场。 其中：/m为垂直于边界面S,的外法线方向导数 (其中i=12 日h2=e为热这里是区城R连续的 k为导热系数：c为 比热：p为密度。 将系数k与h假定为常数。若令k=0,则为 Fe限大的黑生板 热传导第一类边界条件：若令h=0,则为热传导 混凝土板温度场的热传导方程和初始边界条 第二类边界条件 件为 由上式表示的问题不能采用通常的热传导求 (aT(x.1)1 aT(x.1) 解方法（如分离变量法）求解，因为非齐次项∫(，) 0<x<L,1>0 a 是时间的函数。因此用下面定义的较为简单的铺围 问题的解来表示上述问题的解，以此来代替对式（山 T(x,)=f0,x=0,1>0 多 T=20.x=L.1>0 的直接求解。令(r,1,)为式(1)中假定非齐次可 T=F(x),0≤x≤L,1=0 ∫(：，)不是时间的函数的情况下的解，即变量x只 因此混凝土板的温度场为一维非稳态热传导 是一个参量，它不是时间的函数。因此(，1)为 较为简单的辅助问题的解， 即可表示为如下公式 问题。这里考虑到火灾时火场温度上升很快，随若 温度的升高， 受火边界的温度会越来越接近火场 8(r.t,r)186(r.1.) .in R.1>0 温度，同时为了简化计算，将受火边界设为第一边 a Ct 界条件 8d+h,)=f) (2 分析式(4)发聊，火灾高温环境下板的受火边界 an. 温度是不断变化的，因此可以在同一热传导司题但 on S.1>0 非齐次项与时间无关时的解的基础上， 利用杜哈美 (r,r)=F(r) in R.=0 尔定理进行求解 由于f心，)与时间无关，式(2)就可以用通常的 令(x1,x)为式(4)中假定非齐次项∫(r)不是 热传导求解方法进行求解。假定轴助问题式(2)的解 时间函数的间题的解，即变量x只是一个参量，它 (,4)已经求得，则应用杜哈美尔定理即可把 不是时间的函数。因此，(x)为如下较为简单 第 4 期 唐松花，等：火灾情况下混凝土板温度场的解析解 545 常有效。但是积分变换法要求逆变换过程可直接进 行，即在问题开始处理时，这种逆变换的公式必须 已具备，这是使用积分变换法的限制。 火灾时火场温度及构件边界的温度也随时间 不断变化，文献[6]中的杜哈美尔定理能够分析边界 温度按一定规律随时间变化的热传导问题。本文将 应用杜哈美尔定理求解火灾情况下混凝土板温度场 的解析解。 2 杜哈美尔定理 边界条件随时间变化区域内的三维非齐次热 传导问题可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 2 , , 1 , in , 0 , , on , 0 , , in , 0 i ii i i T rt T rt R t r t T k hT f r t S t n T rt F r R t α ⎧∂ ∂ ⎪ = > ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎨ += > ∂ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎩ (1) 其中： i ∂ ∂n 为垂直于边界面 i S 的外法线方向导数， (其中 i s =1,2, , L ，这里 s 是区域 R 连续边界的数 目)；α = k c/ ρ 为热扩散系数；k 为导热系数；c 为 比热； ρ 为密度。 将系数 i k 与 i h 假定为常数。若令 0 i k = ，则为 热传导第一类边界条件；若令 0 i h = ，则为热传导 第二类边界条件。 由上式表示的问题不能采用通常的热传导求 解方法(如分离变量法)求解，因为非齐次项 f (r t, ) 是时间的函数。因此用下面定义的较为简单的辅助 问题的解来表示上述问题的解，以此来代替对式(1) 的直接求解。令φ (r t, ,τ ) 为式(1)中假定非齐次项 f (r t, ) 不是时间的函数的情况下的解，即变量τ 只 是一个参量，它不是时间的函数。因此φ (r t, ,τ ) 为 较为简单的辅助问题的解，即可表示为如下公式 ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () 2 2 ,, ,, 1 , in , 0 , , ,, , on , 0 , , , in , 0 i ii i i rt rt R t r t r t k h rt f r n S t rt F r R t φτ φτ α φ τ φτ τ φ τ ⎧∂ ∂ ⎪ = > ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ + = ⎨ ∂ ⎪ ⎪ > ⎪ ⎪ = = ⎩ (2) 由于 f (r,τ ) 与时间无关，式(2)就可以用通常的 热传导求解方法进行求解。假定辅助问题式(2)的解 φ (r t, ,τ ) 已经求得，则应用杜哈美尔定理即可把 式(1)的解T rt ( , ) ，即所求温度场与辅助问题式(2) 的解φ (r t, ,τ ) 由如下的积分表示式联系起来，即 ( ) ( ) 0 , , ,d t T rt rt t τ φ ττ τ = ∂ = − ∂ ∫ (3) 3 应用杜哈美尔定理求解火灾时 混凝土板的温度场 理论计算中常将混凝土板视为无限大平板(以 下简称大平板)，通常可以理解为该平板的长和宽与 厚度相比为无限大。因此无限大平板是一个以两平 行平面为界限的物体，温度只在厚度方向发生变化， 在其它两个方向温度不变，因而问题是一维的。 如 图 1 所示为一大平板， 0≤ ≤x L ， L =120mm；初始温度分布为20℃；当时间t > 0 时， x = 0 和 x = L 处的边界面分别维持 f (t) 和20℃。 f (t) 为模拟火灾时随时间t 变化的空气流体温度， 即大平板的底面受火。下面求解t > 0 时平板内温度 分布T xt ( , ) ，即板的温度场。 图1 底面受火的混凝土板 Fig.1 Slab exposed to fire at the bottom 混凝土板温度场的热传导方程和初始边界条 件为 ( ) ( ) ( ) () ( ) 2 2 , , 1 ,0 , 0 , , 0, 0 20 , , 0 ,0 , 0 T xt T xt x L t x t T xt f t x t T x Lt T Fx x Lt α ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ∂ ∂ ⎪ ⎪ = => ⎨ ⎪ = => ⎪ ⎪ = = ⎩ ≤ ≤ (4) 因此混凝土板的温度场为一维非稳态热传导 问题。这里考虑到火灾时火场温度上升很快，随着 温度的升高，受火边界的温度会越来越接近火场的 温度，同时为了简化计算，将受火边界设为第一边 界条件。 分析式(4)发现，火灾高温环境下板的受火边界 温度是不断变化的，因此可以在同一热传导问题但 非齐次项与时间无关时的解的基础上，利用杜哈美 尔定理进行求解。 令φ ( x, ,t τ ) 为式(4)中假定非齐次项 f (τ ) 不是 时间函数的问题的解，即变量τ 只是一个参量，它 不是时间的函数。因此，φ ( x, ,t τ ) 为如下较为简单