当n>N2时恒有xn-b<6,取N=max{N,N2b 则当>N时有l-b=(xn-b)-(x-a)≤xn-b+xn-d<E+6=26 上式仅当a=b时才能成立故收敛数列极限唯 例5证明数列xn=(-1)是发散的 证:设血x=a由定义对于=1 则N使得当n>N时,有xn一d<成立 即当n>N时,x∈(a-,a+,区间长度为1 而xn无休止地反复取1-两个数不可能同时位于长度为1的区间内 事实上{xn}是有界的但却发散 五小结 数列:研究其变化规律 数列极限极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质有界性唯一性 思考题 指出下列证明in√n=1中的错误 证明:要使n<1+E,只要使-hn<l(1+E) 从而由1m(1+6)h(1+E) In In 2 In 2 得E>0,取N In(1+8) 当n>N时,必有0<3<1+E成立 思考题解答 <1+ nn<mn(1+E)(等价) 66 ; 2 n  N x −b   当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n  N时有 a b (x b) (x a) − = n − − n −  xn −b + xn −a  + = 2. 上式仅当a = b时才能成立. 故收敛数列极限唯一. 例 5 ( 1) . 证明数列xn = − n+1是发散的 证: lim x a, n n = → 设 由定义, , 2 1 对于 = , 2 1 则N,使得当n  N时,有 xn − a  成立 ), 2 1 , 2 1 即当n  N时, xn (a − a + 区间长度为 1. 而 无休止地反复取1, −1两个数, n x 不可能同时位于长度为 1 的区间内. 事实上,{ }是有界的,但却发散. n x 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性. 思考题 指出下列证明 lim =1 → n n n 中的错误。 证明：要使 1+ , n n 只要使 ln ln(1 ) 1 n  +  n 从而由 ln 2 ln(1 ) ln 1 ln(1  ) +   +  n n 得   0, 取 1 ln(1 ) ln 2 +      + =  N 当 n  N 时，必有 0  1+ n n 成立  lim =1 → n n n 思考题解答 1+ n  n ~ ln ln(1 ) 1 n  +  n （等价）