imq”=0 例4设xn>0.,且mxn=a>0,求证m√xn= 证:任给E>0,lm 丑N使得当n>M时恒有xn-a<s1, 从而有 故 四、数列极限的性质 有界性 定义:对数列xn,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有x|≤M成立,则称 数列xn有界,否则,称为无界 例如,数列x 有界 n+1 数列xn=2无界 数轴上对应于有界数列的点x都落在闭区间[M,M上 定理1收敛的数列必定有界 证:设mxn=a,由定义,取E= 则N,使得当m>M时恒有x-d<1 即有a-1<x 记M=mxx…xN-1l+l, 则对一切自然数皆有x|≤M,故{}有界 注意:有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限. 证:设lxn=a,又lmxn=b,由定义 vE>0,N1,N2使得当n>N时恒有xn-d<E5  lim = 0. → n n q 例 4 x 0, lim x a 0, lim x a. n n n n n  =  = → → 设 且 求证 证： 任给  0, lim x a, n n = →  , 1 N n  N x −a   使得当 时恒有 n x a x a x a n n n + − 从而有 − = a x a n −  a 1   = lim x a. n n = → 故 四、数列极限的性质 1.有界性 定义: 对数列 n x , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n , 恒有 xn  M 成立, 则称 数列 n x 有界, 否则, 称为无界. 例如, ; +1 = n n x 数列 n 有界 2 . n n 数列 x = 无界 数轴上对应于有界数列的点 n x 都落在闭区间 [−M,M ] 上. 定理 1 收敛的数列必定有界. 证： lim x a, n n = → 设 由定义, 取 =1, N, n  N x −a 1, 则 使得当 时恒有 n a −1 x  a +1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1  xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n  故 有界. n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理 2 每个收敛的数列只有一个极限. 证: lim x a, lim x b, n n n n = = → → 设 又 由定义,   0,N1 ,N2 .使得 ; 1 n  N x −a   当 时恒有 n