其中V:每一个或任给的,彐:至少有一个或存在 几何解释: E M2 I XN+l a 当n>N时,所有的点x都落在(a-E,a+E)内 只有有限个(至多只有N个)落在其外 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法 例1证明mn+(-1)=1 +(-1)1 任给E>0,要-1<,只要1<6,或n>1 所以,取N=[],则当n>M时, 就有n+(-1) kE即hm+(-1) 例2设xn=C(C为常数),证明lm 证:任给E>0,对于一切自然数n, x-C=(C-q=0<成立 所以, lim x=C 说明:常数列的极限等于同一常数 小结:用定义证数列极限存在时关键是任意给定E>0,寻找N但不必要求最小的 例3证明mq=0,其中q<1 证任给E>0,若q=0,则mq”=lim0=0 若0<<1,p-0=<,nll<h wm"取N=51,则当n>N时,就一0<6 In a4 其中 :每一个或任给的; :至少有一个或存在. 几何解释: ( ) . , ( , ) , 只有有限个 至多只有 个 落在其外 当 时 所有的点 都落在 内 N n  N xn a − a + 注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 例 1 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 证明 证： xn −1 1 ( 1) 1 − + − = − n n n n 1 = 任给  0, −1  , n 要 x , 1   n 只要 , 1  或n  所以, ], 1 [  取N = 则当n  N时, −   + − − 1 ( 1) 1 n n n 就有 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 即 例 2 x C(C ), lim x C. n n n  = → 设 为常数 证明 证： 任给  0, 对于一切自然数n, xn −C = C −C = 0  成立, 所以, lim x C. n n = → 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定   0, 寻找 N,但不必要求最小的 N. 例 3 lim = 0, 1. → q q n n 证明 其中 证 任给  0, 若q = 0, lim = lim 0 = 0; → n→ n n 则 q 若0  q 1, − 0 =  , n xn q nln q  ln , , ln ln q n    ], ln ln [ q N  取 = 则当n  N时, − 0   , n 就有q x 1 x 2 x N+2 x N +1 x 3 x 2 a− a + a