则上述方程组用矩阵乘法就可简写成 AX=B 矩阵乘法满足: (1)结合律(AB)C=A(BC) (2)分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC 3)a(AB)=(aA)B=A(aB); (4)ImAmxn= A= AmxnIn 证明(1)设A=(a1)mxmn,B=(b1)nxp,C=(G)pxq则(AB)的第i行为 1 ∑n=1 airborn),C的第j列为 C1 所以(AB)C的第(,)个元素为 ∑anln1ay+∑a2)y+…+△ airbag) k=1r=1 r=1k= 同理,(BC)的第j列为 A的第i行 ai1,(12, ain 所以A(BC)的第(,)个元素为➃➆➇❈➈➉➊✧★✲✰➋t➌➍➄ AX = β. ✧★✲✰✺✻❫ (1) ❛❜✵ (AB)C = A(BC); (2) ➎➏✵ A(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BC; (3) a(AB) = (aA)B = A(aB); (4) ImAm×n = A = Am×nIn. ➐➑ (1) ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )n×p, C = (cij )p×q. ➃ (AB) ✩❶ i P❭ ￾ Pn r=1 airbr1, Pn r=1 airbr2, · · · , Pn r=1 airbrp
, C ✩❶ j ◗❭   c1j c2j · · · cpj   . ➒ ✉ (AB)C ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ ( Xn r=1 airbr1)c1j + (Xn r=1 airbr2)c2j + · · · + (Xn r=1 airbrp)cpj = X p k=1 ( Xn r=1 airbrk)ckj = Xn r=1 X p k=1 airbrkckj . ➓✢✮ (BC) ✩❶ j ◗❭   Pp k=1 P b1kckj p k=1 b2kckj P · · · p k=1 bnkckj   , A ✩❶ i P ￾ ai1, ai2, · · · , ain
. ➒ ✉ A(BC) ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ ai1( X p k=1 b1kckj ) + ai2( X p k=1 b2kckj ) + · · · + ain( X p k=1 bnkckj ) 3