14.1两端固定弦的自由振动 第9页 关于这三个问题,都涉及到级数解的收敛性.由于系数Cn和Dn是由(x)和v(x)决定的 因而(x)和v(x)的性质就决定了对这三个问题的回答 从理论上说,分离变量法的成功,要取决于下列几个条件: 1.本征值问题有解 2.定解问题的解一定可以按照本征函数展开,换句话说,本征函数的全体是完备的 3.本征函数一定具有正交性 以后将在适当时候回答这几个问题 解的物理意义 先看特解 un(a,t)=(Cn sin T at+Dn cos T at)sin T2 (wnt+5n)sin kn I, 其中 COS ★un(x,t)代表一个驻波 ★ An sin knr表示弦上各点的振幅分布 ★sin(ant+bn)表示相位因子 ★n是驻波的园频率,称为两端固定弦的固有频率或本征频率,与初始条件无关 ★kn称为波数,是单位长度上波的周期数 ★n是初相位,由初始条件决定 ★在knx=m丌,即x=m丌/kn=(m/m)l,m=0,1,2,3,…,n的各点上,振动的振幅恒 为0,称为波节 包括弦的两个端点在内,波节点共有n+1个 ★在knx=(m+1/2),即x=(2m+1)丌/2kn=(2m+1)l/2n,m=0,1,2,3,…,n-1的 各点上,振动振幅的绝对值恒为最大,称为波峰.波峰点共有n个 ★整个问题的解则是这些驻波的叠加 正是因为这个原因,这种解法也称为驻波法14.1 üà½ugdÄ 1 9  'uùn‡¯K§Ñ9?ê)Âñ5©duXêCnÚDn´dφ(x) Úψ(x)û½§ Ï φ(x)Úψ(x)5ŸÒû½ éùn‡¯K£‰© lnØþ`§©lCþ{¤õ§‡ûueA‡^‡µ 1. Š¯Kk)¶ 2. ½)¯K)½Œ±Uì¼êÐm§†é{`§¼êN´¶ 3. ¼ê½äk5© ±￾ò3·žÿ£‰ùA‡¯K© )Ôn¿Â kwA) un(x, t) = ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x = An sin (ωnt + δn) sin knx, Ù¥ ωn = nπ l a, kn = nπ l , An cos δn = Cn, An sin δn = Dn. F un(x, t)L‡7Å F An sin knxL«uþˆ:Ì©Ù F sin ¡ ωnt + δn ¢ L«ƒ Ïf F ωn´7Ūǧ¡üà½ukªÇ½ªÇ§†Ð©^‡Ã' F kn¡Å꧴ü ÝþűÏê F δn´Ðƒ §dЩ^‡û½ F 3knx = mπ§=x = mπ/kn = (m/n)l, m = 0, 1, 2, 3, · · · , nˆ:þ§ÄÌð 0§¡Å!© )uü‡à:3S§Å!:
kn + 1‡© F 3knx = (m + 1/2)π§=x = (2m + 1)π/2kn = (2m + 1)l/2n, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n−1 ˆ:þ§ÄÌýéŠðŒ§¡Å¸©Å¸:
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