14.1两端固定弦的自由振动 第8页 ★解的唯一性 如果此定解问题有两个解,u1(x,t)和u2(x,t),那么,v(x,t)≡u1(x,t)-u2(x,t)就一定满足定 解问题 2 22u=0, 0<x<l,t>0, t≥0, 0 0,0≤x≤l. 只要能够证明υ(x,t)=o即可,从物理上可以判断,这肯定是正确的.从能量守恒的要求来 看,当t=0时弦的总能量为0,因此以后的任一时刻t,E(t)均为0.这意味着一定有 即v(x,t)为常数.由初始条件或边界条件,都能定出此常数为0 ★利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤 1.第一步,分离变量 这一步之所以能够实现,先决条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的.而 分离变量的结果,是得到了(一个或多个)含有待定常数的齐次常微分方程和 齐次边界条件,即(一个或多个)本征值问题 2.第二步,求解本征值问题 3.第三步,求出全部的特解,并进一步叠加出一般解 显然事先没有任何理由弃去其中的任何一个特解 4.第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 严格说来,上面得到的还只是形式解.对于具体问题,还必须验证: 1.这样得到的a(x,t)是否满足偏微分方程,换句话说,级数解是否可以逐项求二阶偏微 商 2.这样得到的u(x,t)是否满足边界条件,换句话说,级数解的和函数是否连续; 3.在定叠加系数时,逐项积分是否合法14.1 üà½ugdÄ 1 8  F )5 XJd½)¯Kkü‡)§u1(x, t)Úu2(x, t)§@o§v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t)Ò½÷v½ )¯K ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, v ¯ ¯ x=0 = 0, v ¯ ¯ x=l = 0, t ≥ 0, v ¯ ¯ t=0 = 0, ∂v ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ‡U y²v(x, t) = 0=Œ©lÔnþŒ±ä§ù’½´(©lUþÅð‡¦5 w§t = 0žuoUþ0§Ïd±￾?žt§E(t) þ0©ù¿›X½k ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, =v(x, t)~ê©dЩ^‡½>.^‡§ÑU½Ñd~ê0© F |^©lCþ{¦) ‡©§½)¯KÄÚ½ 1. 1Ú§©lCþ© ùڃ¤±U ¢y§kû^‡´ ‡©§Ú>.^‡Ñ´àg© ©lCþ(J§´ (‡½õ‡)¹k½~êàg~‡©§Ú àg>.^‡§=(‡½õ‡)Š¯K© 2. 1Ú§¦)Š¯K© 3. 1nÚ§¦ÑÜA)§¿?ÚU\ф)© w,¯kvk?ÛndïÙ¥?ۇA)© 4. 1oÚ§|^¼ê5½U\Xê© î‚`5§þ¡„´/ª)©éuäN¯K§„7Lyµ 1. ùu(x, t)´Ä÷v ‡©§§†é{`§?ê)´ÄŒ±Å‘¦ ‡ û¶ 2. ùu(x, t)´Ä÷v>.^‡§†é{`§?ê)Ú¼ê´ÄëY¶ 3. 3½U\Xꞧőȩ´ÄÜ{©