14.1两端固定弦的自由振动 第7页 本征函数的正交性 Xn(a)Xm(r)d: 仍然成立 △上面的边界条件涵盖了一、二、三类三种类型的边界条件 征函数模方① IX=h ★波动在两端固定弦上的传播过程 为了简单起见,仍以单纯由初位移引起的波动为例 当t>0时,初位移也像在无界弦上分别向左右传播,不同之处是到达端点x=0或x= 时,必须反射回来,并伴有额外的相位损失π(即在端点x=0和x=1必须作奇延拓,这是由两 端固定这样的边界条件决定的).就弦上任意一点在任意一个时刻的位移而言,它就是初位移 在两个端点间多次反复反射而叠加出的结果.对于初速度激发的波动,当然也可以类似地讨 论 ★弦的总能量 在任一时刻t,弦的动能和位能分别是 总能量为 01)2 0=(m)d+/r(m 将解式代入,利用本征函数的正交归一性,就容易求得 E(t) 等式右端显然是常数,与t无关,即弦的总能量守恒② ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子.这是因为 即本征函数Xn(x)/‖Xn的模为1.另外,还可以合并写成 本征函数的正交归一性 更严格的办法是仿照136节的作法,直接推出dE/dt=-2,而不依赖于具体的求解方法(例如,分离变量法)14.1 üà½ugdÄ 1 7  ¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m E,¤á© 4 þ¡>.^‡ºX !!nan«a.>.^‡© F ¼ê kXnk 2 ≡ Z l 0 X 2 n(x)dx = l 2 . F ÅÄ3üà½uþDÂL§  {ü儧E±üXdР£ÚåÅď~© t > 0ž§Ð £3Ã.uþ©O•†mD§ØӃ?´ˆà:x = 0½x = lž§7L‡£5§¿Šk ƒ ›π(=3à:x = 0Úx = l7LŠÛòÿ§ù´dü à½ù>.^‡û½)©Òuþ?¿:3?¿‡ž £ ó§§Ò´Ð £ 3ü‡à:mõg‡E‡ U\Ñ(J©éuЄÝ-uÅħ,Œ±aq/? Ø© F uoUþ 3?žt§uÄUÚ U©O´ 1 2 Z l 0 ρ µ ∂u ∂t ¶2 dx Ú 1 2 Z l 0 T µ ∂u ∂x¶2 dx, oUþ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ µ ∂u ∂t ¶2 dx + 1 2 Z l 0 T µ ∂u ∂x¶2 dx. ò)ª\§|^¼ê85§ÒN´¦ E(t) = mπ2 a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 £ |Cn| 2 + |Dn| 2 ¤ . ªmàw,´~꧆tÃ'§=uoUþÅð© kXnkê~¡¼ê8Ïf©ù´Ï 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 =¼êXn(x)/kXnk1©, §„Œ±Ü¿¤ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ¡¼ê85© î‚{´•ì13.6!Š{§†íÑdE/dt = −2§ ؝6uäN¦){(~X§©lCþ{)©