14.1两端固定弦的自由振动 6页 △在上面的证明中只用到了 1.本征函数满足的微分方程 2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 x"(x)+AX(x)=0 (An -Am)/Xn(=)Xm(a)dr Ln(a)Xm(a)-Xm(a)Xn(a) 仍然成立 △如果将本征函数满足的边界条件改为 1X(0)+B1X(0)=0 a2X(1)+B2X'()=0, 其中a1和B1、a2和B2均不同时为0,则有 Xn(0)+1Xn(O)=0, Xm(O)+1Xm(0)=0 n()+B2Xn() a2Xm()+B2Xm()=0 因为a1和61不同时为0,所以 Xn(0)Xn(0) Xm(0)m0/≈0. 又因为a2和B2不同时为0,所以又有 m() ★结论:对于本征值问题 X"(x)+λX(x)=0 (0)+月1X'(0) a2X(1)+B2X()=014.1 üà½ugdÄ 1 6  4 3þ¡y²¥^ µ 1. ¼ê÷v‡©§ 2. ¼ê÷v>.^‡ vk^¼êäN¼ê/ª 4 Ïd§‡¼ê÷v‡©§ X 00(x) + λX(x) = 0, K(J (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = £ Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x) ¤ ¯ ¯ ¯ l 0 E,¤á© 4 XJò¼ê÷v>.^‡U α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X 0 (l) = 0, Ù¥α1Úβ1!α2Úβ2þØӞ0§Kk α1Xn(0) + β1X 0 n(0) = 0, α1Xm(0) + β1X 0 m(0) = 0 Ú α2Xn(l) + β2X 0 n(l) = 0, α2Xm(l) + β2X 0 m(l) = 0. Ϗα1Úβ1ØӞ0§¤± ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn(0) X0 n(0) Xm(0) X 0 m(0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. qϏα2Úβ2ØӞ0§¤±qk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn(l) X 0 n(l) Xm(l) X 0 m(l) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. F (صéuŠ¯K X 00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X 0 (l) = 0