14.1两端固定弦的自由振动 第5页 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数 论依据本征函数的正交性 在(必)式两端同乘以 lsin = r,逐项积分,就得到 p(a)sin--cdz >Disin SaNada Dn/sin 所以 φ(x)sinx,rdar 同样,由(※)式,可以得到 Cn- 2 v(a)sir 这样,根据初始条件中的己知函数(x)和v(x),就可以得到叠加系数Cn和Dn,从而就求得了 整个定解问题的解 ★本征函数正交性的证明 设Xn(x)=出了和Xm(x) x是分别对应于本征值入n和Am的两个本征函数,An m(即n≠m).它们分别满足 Xn()+An Xn(a)=0, Xn(0)=0,Xn(l)=0 Xm2(0)=0,Xm()=0 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减,并在区间[0,0上积分,即得 Xn(a)Xm(a)-Xm(r)Xn(a)dr [Xn (z)X m(=)-Xm(a)Xn(x)]=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到入n≠Mm,就证得本征函数的正交性14.1 üà½ugdÄ 1 5  1oÚµ|^¼ê5½U\Xê n؝â ¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 3(z)ªüàÓ¦±sin mπ l x§Å‘È©§Ò Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ¤± Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. Ó§d(>)ª§Œ± Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ù§ŠâЩ^‡¥®¼êφ(x)Úψ(x)§ÒŒ±U\XêCnÚDn§l Ò¦ ‡½)¯K)© F ¼ê5y² Xn(x) = sin nπ l xÚXm(x) = sin mπ l x ´©OéAuŠλnÚλmü‡¼ê§λn 6= λm(=n 6= m)©§‚©O÷v X 00 n(x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, Ú X 00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ^Xm(x)¦±Xn(x)§§^Xn(x)¦±Xm(x)§§ƒ~§¿3«m[0, l]þÈ©§= (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 £ Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x) ¤ dx = £ Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x) ¤ ¯ ¯ ¯ l 0 = 0. þ¡^ Xn(x)ÚXm(x)÷v>.^‡©Äλn 6= λm§Òy¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m.