14.1两端固定弦的自由振动 第4页 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值 和相应的本征函数都记为入n和Xn(x) 步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值λn,由方程 T"(t)+Ma2T(t)=0 可以求出相应的Tn(t), Tn(t)=Cn sin at+ Dn coat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 nT un(a, t)=(C at+Dn cos at (n=1,2,3,……) ★这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找 到常数Cn和Dn,满足 Dn sin ta=o(z), Cn[sin t-a= v(z) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐 次方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 (er,t)=2(Cn sin at+ Dn cos t -at)sin -, 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到 的u(x,t)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为一般解不只是满足 偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加系数Cn和Dn? sin I=o(r), ∑ Cn-tsin"x=(a)14.1 üà½ugdÄ 1 4  ù¦Škáõ‡§§‚Œ±^ênIP§Ïd§3þ¡(J¥§rŠ ڃA¼êÑPλnÚXn(x)© 1nÚµ¦A)§¿U\ф) 3¦) Š¯K￾§éuz‡Šλn§d§ T 00(t) + λa2 T(t) = 0 Œ±¦ÑƒATn(t)§ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. Ïd§Ò ÷v ‡©§Ú>.^‡A) un(x, t) = ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ùA)káõ‡ F z‡A)Ñ÷vàg ‡©§Úàg>.^‡ F „`5§üÕ?ۇA)،UTÐ÷v½)¯K¥Щ^‡§=„Ã{é ~êCnÚDn§÷v Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F  ‡©§Ú>.^‡Ñ´àg§r§‚(?¿k‡)A)U\å5§E,´÷và g§Úàg>.^‡)©´ÄŒU÷vЩ^‡º F rÜáõ‡A)U\å5 u(x, t) = X∞ n=1 ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x, ‡?êäkv ÐÂñ5(~X§Œ±Å‘¦ ‡û)§@o§ù u(x, t)E,´àg ‡©§3àg>.^‡e)© ù«/ª)¡„)©§ØÓu ‡©§Ï)§Ï„)ؐ´÷v  ‡©§§ …÷vàg>.^‡ XÛÀJ„)¥U\XêCnÚDnº X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>)