14.1两端固定弦的自由振动 第3页 条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常 数λ,定解条件是一对齐次边界条件.这样的定解问题不同于常微分方程的初值 问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的 非零解X(x) A的这些特定值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 [第二步:求解本征值问题 ★若λ=0,微分方程的通解是 (a)=Ao.T Be 代入边界条件 (0)=0,X(l)=0 就可以定出 这说明λ=0时微分方程只有零解.换句话说,入=0不是本征值 ★当入≠0时,常微分方程 x"(x)+AX(x)=0 的通解是 X(r) sIn 代入边界条件,就有 B=0. AsinVl=o 因为A≠0,故必有√A=n丌,即 本征值An= 1.2.3. 相应的本征函数就是14.1 üà½ugdÄ 1 3  F ^‡  ‡©§Ú>.^‡Ñ´àg y3Ñy¼êX(x)~‡©§½)¯K§A:´µ‡©§¥¹k½~ ê맽)^‡´éàg>.^‡©ù½)¯KØÓu~‡©§Њ ¯K© ¿šéu?Û늧ÑkQ÷vàg~‡©§!q÷vàg>.^‡š" )© kλ, A½Šž§âkQ÷vàg~‡©§!q÷vàg>.^‡ š")X(x)© λù A½Š¡Š§ ƒAš")¡¼ê© ¼êX(x)~‡©§½)¯K§¡Š¯K© 1Úµ¦)Š¯K F eλ = 0§‡©§Ï)´ X(x) = A0x + B0. \>.^‡ X(0) = 0, X(l) = 0, Ҍ±½Ñ A0 = 0, B0 = 0. ù`²λ = 0ž‡©§k")©†é{`§λ = 0Ø´Š© F λ 6= 0ž§~‡©§ X 00(x) + λX(x) = 0 Ï)´ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, \>.^‡§Òk B = 0, A sin √ λl = 0. ϏA 6= 0§7k √ λl = nπ§= Š λn = ³nπ l ´2 , n = 1, 2, 3, · · · . ƒA¼êÒ´ Xn(x) = sin nπ l x.