14.1两端固定弦的自由振动 第2页 14.1两端固定弦的自由振动 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 a+2 0<x<l,t>0, 0 0 t≥0 u=0=()mH|=(a),0≤x≤ 方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的 我们希望求得的特解具有分离变量的形式,即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方程,即得 等式两端除以X(x)T() 1T"(t)X"(x) 在这个等式中, 左端只是t的函数(换句话说,与x无关) 右端只是x的函数(换句话说,与t无关) 因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数.设为一λ,上面的 结果就可以化成 T"(t)+Ma2T(t)=0 "(x)+AX(x)=0. ★将u(x,t)代入边界条件,得 x(0)T(t)=0,X(D)T(t)=0. 这时必须有 x(0)=0,X()=0 这样就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的 第一步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)T(t) ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程14.1 üà½ugdÄ 1 2  14.1 üà½ugdÄ ½)¯K ďl!üà½ugdħ§9½)^‡ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, u ¯ ¯ x=0 = 0, u ¯ ¯ x=l = 0, t ≥ 0, u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. §Ú>.^‡Ñ´àg§ Щ^‡´šàg© ·‚F"¦A)äk©lCþ/ª§= u(x, t) = X(x)T(t). F òu(x, t)\§§= X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T(t). ªüàرX(x)T(t)§ 1 a 2 T 00(t) T(t) = X 00(x) X(x) . 3ù‡ª¥§ †à´t¼ê (†é{`§†xÃ') mà´x¼ê (†é{`§†tÃ') Ïd§†àÚmàƒ§Ò7L
Óu‡Q†xÃ'!q†tÃ'~꩏−λ§þ¡ (JҌ±z¤ T 00(t) + λa2 T(t) = 0, X 00(x) + λX(x) = 0. F òu(x, t)\>.^‡§ X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. ùž7Lk X(0) = 0, X(l) = 0. ùÒ¤ ^©lCþ{¦) ‡©§½)¯K 1Úµ©lCþ F 8I ©lCþ/ªš")u(x, t) = X(x)T(t) F (J ¼êX(x)÷v~‡©§Ú>.^‡±9T(t)÷v~‡©§