公式示食撸子是由连接初亮(x,l)和末(,)的所有路径, 过相因子所做的贡。其中L是系的批氏量。S[,是 所有各种可能的分段直戴构成的路怪(x→x→…→,=) 之和的总作用量。同样,如暴我们假定将时间t延拓到虛教范国 时,上述带式仍成文。令t=-,作用量,可以推出为 s,元 ∫E(,r1a 利用上式,可以得到 o(o)l=lim n edr 其中 Z=[d∏d 上式中指數中有一个路径积分,它的积分是沿路径 ==0→无+→…→=8=,即我们把路径积分的空间起始点 和x分别放在x上,则该积分为 bearse +(G,)=EG,元,…,,) 因而对每一永路径,就有一个能量。 由于取x=x,并对进行积分,此时须加进一个战(x-)函数在被 积函数中,则上式可以普价写为 其中Z为配分函数 上面的公式给出量子力学中的费曼路怪积分在欧氏时的 示,鹁示出量子理论与統计力学之间的深刻联系。这时的路径 积分与配分函教两者在数总上是相同的,因而敦们可以用计箕 经典统计力学配分函教的敵法来计犷路径积分问题 3.5.2路径积分量子蒙特卡洛方法( ( )) 0 0 2 1 2 t t t t dx S Ldt m V x t dt dt     = =     −     ∫ ∫ G G . 公式表示传播子是由连接初态( , ) 0 0 x t t G 和末态(x ,t) t G 的所有路径，通 过相因子ex 所做的贡献。其中 是系统的拉氏量。 是 所有各种可能的分段直线段构成的路径（ p[iS / =] L S x[ ] x G G 0 , t t N x x t ε = 0 + ε x 0 → xt0 + →....→ G G G G ） 之和的总作用量。同样，如果我们假定将时间t延拓到虚数范围 时，上述等式仍然成立。令t = −iτ ，作用量S x[ k k x ] G G , +1 可以推出为 [ ] ( ) τ τ V x d d m dx t dt i dt dx S x x L x k k k k t t t t k k ∫ ∫ + +          −       = − −      + = 1 1 2 1 2 , , , G G G G G G ( τ ) τ . τ τ i E x d k k ∫ + = 1 , G 利用上式，可以得到 1 1 0 2 0 1 ( ) exp lim − = →∞             = ∏ − ∫ ∫ x dx j Ed Z N j τ τ ψ τ = G G . 其中         = ∏ − ∫ ∫ ∫ = τ τ 0 1 1 Z dx dx j exp Ed N j = G G . 上式中指数中有一个路径积分，它的积分是沿路径 x x x x x x x t t t t N G G G G G G G = = 0 → +ε → → = +( +1)ε = 0 0 0 .... 0 x G G x N +1 x G ，即我们把路径积分的空间起始点 和 分别放在 上，则该积分为 ( ) ( ) N N k k k k V x E x x x m x x Ed G G G = G G G = = , ...., 2 1 1 0 2 1 0 ε ε ε τ τ =          +      − ∫ = ∑= + . 因而对应每一条路径，就有一个能量。 ( )             = ∏ − ∫ = − j N N j x Z dx E x x x G G G = G G ( ) exp , ...., 1 1 1 2 0 ε ψ . 由于取x G = x G 0，并对x G 0进行积分，此时须加进一个δ( ) G G x x − 0 函数在被 积函数中，则上式可以等价写为： ( ) ( )             = ∏ − − ∫ ∫ − = j N N j x dx dx x x Z E x x x G G G = G G G G G ( ) exp , ...., 0 1 1 0 1 0 2 0 ε ψ δ . 其中 Z 为配分函数 ( )             = ∏ − ∫ = j N N j Z dx E x x x G G G = G exp , ...., 0 1 1 ε . 上面的公式给出量子力学中的费曼路径积分在欧氏时空的表 示，揭示出量子理论与统计力学之间的深刻联系。这时的路径 积分与配分函数两者在数学上是相同的，因而我们可以用计算 经典统计力学配分函数的做法来计算路径积分问题。 3.5.2 路径积分量子蒙特卡洛方法 3