等价具有以下性质: 1)自身性:向量组与其本身等价 2)对称性:组(Ⅰ)与(I〕)等价,组(I)也与组(I)等价 3)传递性:若向量组(I)与(I)等价,(Ⅱ)与(Ⅲ)等价,则(1)与(I)等价。 例3证明向量组(1):a(2人2=,与坐标向量组I等价。 解由例2,向量组(I)可以由坐标向量组I线性表示。反之,也有 0)-02( =(-1)ax1+2a (-),|=a1+(-1)a 例4设向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103) a4=(-2-24),判别a4是否可由a12a2a3线性表示:若可以,求其表示式 解设a4=l1a1+l2a2+l2 解之得l1=-1,l2=0,l3=1,即a4=-a1+a3 定义5(线性相关)对于向量组(I)a2a2…,a,若存在不全为零的数k,k2,…,k,,使得 ka1+k2a2+…+k,a=6 则称向量组(I)线性相关;否则称向量组(I)性无关 否则的等价说法:使得a1,a2…,a线性组合为零的组合系数k1,k2,…,k,必须全为零 如例1中的向量组a1,a2,a3,成立:2a1+a2+(-1)a3=日,线性相关。 注意,(1)线性相关性与向量在向量组的排序无关,ax1,a2,a3与a2,a3,a1具有相同 的线性相关性。(2)解释n=3,三个向量线性相关的几何意义,是这三个向量共面 例5判断向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103)的线性相关性。46 等价具有以下性质： 1） 自身性：向量组与其本身等价； 2） 对称性：组（I）与（II）等价，组（II）也与组（I）等价； 3） 传递性：若向量组（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。 例 3 证明向量组（I）：         =         = 1 1 , 2 1 1 2 与坐标向量组 I 等价。 解 由例 2，向量组（I）可以由坐标向量组 I 线性表示。反之, 也有 ( 1) 2 , 1 1 2 2 1 ( 1) 0 1 1 1  2  = − +         +        = −         = ( 1) , 1 1 ( 1) 2 1 1 0 2 1  2  = + −         + −         =        = 例 4 设向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T  2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 ， ( ) T  4 = − 2 − 2 4 , 判别  4 是否可由 1 2 3  , , 线性表示；若可以，求其表示式。 解 设  4 11 2 2 33 = l + l + l ， 解之得 l 1 = −1,l 2 = 0,l 3 =1 ，即  4 = −1 + 3。 定义 5 (线性相关) 对于向量组（I）   s , , , 1 2  ，若存在不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，使得 k11 + k22 ++ kss =  ， 则称向量组（I）线性相关；否则称向量组（I）性无关。 否则的等价说法：使得   s , , , 1 2  线性组合为零的组合系数 s k , k , , k 1 2  必须全为零。 如例 1 中的向量组 1 2 3  ,  ,  , 成立： 21 + 2 + (−1) 3 =  ,，线性相关。 注意，（1）线性相关性与向量在向量组的排序无关， 1 2 3  ,  ,  与 2 3 1  ,  ,  具有相同 的线性相关性。（2） 解释 n = 3 ，三个向量线性相关的几何意义，是这三个向量共面。 例 5 判断向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T  2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 的线性相关性