《数学分析(1,2,3)》教案 例:( arccos x) 例:( arctan +x2,(arc cot x ) 1+x §4复合函数求导法 复合函数的导数 定理1设y=f(m)在点可导,=g(x)在点x可导,则复合函数y=/(g(x)在点x可导,且 dy dy du 例:y=sinx3,求y 例:设f(x)=√x2+1,求f(O),f(1) 例:设y=(x)2),其中(x)>0且(x)和v(x)均可导,试求此幂指函数的导数。(对数求导法) 例:设y= (x+5)(x-8)3 (x>4),求y。 (x+2)°(x+4)2 §5微分及其运算 微分的定义 1.引 先考察一个具体的问题,推得一般情形。 2.微分的定义 定义1函数y=f(x)定义在点x的某邻域O(x,)内。当给x一个增量△x,x+△x∈O(x,0)时, 相应地得到函数的增量为y=∫(x+Ax)-f(x)。如果存在常数A,使得△y能有 △y=A△x+o(△x) (1) 则称函数∫在点x可微,并称(1)中右端第一项AAx为∫在点x的微分,记作: AAx df(x)Irsr.=AAx《数学分析（1，2，3）》教案 4-4 例： 2 1 1 (arccos )' x x − = − 例： 2 1 1 ( )' x arctgx + = ， 2 1 1 ( cot )' x arc x + = − 。 §4 复合函数求导法 一 复合函数的导数 定理 1. 设 y f u = ( ) 在点 u 可导， u g x = ( ) 在点 x 可导，则复合函数 y f g x = ( ( )) 在点 x 可导，且 dy dy du dx du dx = 。 例： 3 y x = sin ，求 y '。 例： 设 ( ) 1 2 f x = x + ，求 f '(0) ， f '(1) 。 例： 设 ( ) ( ) v x y = u x ，其中 u(x)  0 且 u(x) 和 v(x) 均可导，试求此幂指函数的导数。（对数求导法） 例： 设 1 3 3 1 5 2 ( 5) ( 8) ( 2) ( 4) x x y x x + − = + + （ x  4 ），求 y' 。 §5 微分及其运算 一 微分的定义 1．引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形。 2．微分的定义 定义 1 函数 y f x = ( ) 定义在点 0 x 的某邻域 O x( 0 ,  ) 内。当给 0 x 一个增量 x ，x x O x 0 0 +   ( ,  ) 时， 相应地得到函数的增量为 0 0  = +  − y f x x f x ( ) ( ) 。如果存在常数 A ，使得 y 能有  =  +  y A x o x ( ) （1） 则称函数 f 在点 0 x 可微，并称（1）中右端第一项 A x 为 f 在点 0 x 的微分，记作： 0 x x dy A x = =  or 0 ( ) x x df x A x = = 