银川科技职业学院《高签数学》教末 第九章重积分 fpcos0,psn8)pia0=2dofpcos8,psn8pip. /pcosd,psn0)aind0=aorfpcos8,psi9pdp. 例5.计算川er-yd,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围 成的闭区域。 解在极坐标系中，闭区域D可表示为 0spsa,0≤0≤2π. 于是 Se-drdy=fepdodo-"epdoHodo -(1)do-(-e) 注：此处积分∬e-少dd山也常写成川e-yd本. x2+y2≤a 利用 川e-=-e计算广义积分∫e: x2+y2≤a2 设D1={x,y2+y2≤R2,x20,y205, D2={x,yk2+y2≤2R2,x20,y20, S={x,y)I0≤x≤R,0sysR} 显然DiCSCD:.由于e-广>0，从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等 式 fe小fe. 因为 fedrdy=dddy 又应用上面己得的结果有 e-r=平l-e心)，je-yad=年l-e2). D 于是上面的不等式可写成平-e)<(eP<l-e2). 令R计o上式两端趋于同一极限子，从而∫们e=豆 第8页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 8 页                   f d d d f d D     ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin )                   f d d d f d D     ( ) 0 2 0 ( cos , sin ) ( cos , sin )  例 5 计算    D x y e dxdy 2 2  其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围 成的闭区域 解 在极坐标系中 闭区域 D 可表示为 0a  0 2  于是       D D x y e dxdy e dd  2 2 2         e d d e d a a 0 2 0 2 0 0 ] 2 1 [ ] [ 2 2         (1 ) (1 ) 2 1 2 2 2 0 a a e d e            注 此处积分    D x y e dxdy 2 2 也常写成      2 2 2 2 2 x y a x y e dxdy  利用 (1 ) 2 2 2 2 2 2 a x y a x y e dxdy e          计算广义积分 e dx x 2 0     设 D1{(x y)|x 2 y 2 R 2  x0 y0} D2{(x y)|x 2 y 2 2R 2  x0 y0} S{(x y)|0xR 0yR} 显然 D1SD2 由于 0 2 2  x y e  从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等 式            2 2 2 2 2 1 2 2 D x y S x y D x y e dxdy e dxdy e dxdy  因为 2 0 0 0 ( ) 2 2 2 2 2             R x R y R x S x y e dxdy e dx e dy e dx  又应用上面已得的结果有 (1 ) 4 2 1 2 2 R D x y e dxdy e         (1 ) 4 2 2 2 2 2R D x y e dxdy e         于是上面的不等式可写成 (1 ) 4 (1 ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 R R R x e e dx e            令 R 上式两端趋于同一极限 4   从而 2 2 0      e dx x 