·232· 北京科技大学学报 1999年第3期 K(m) T-r+r》+2-Z}严 9z-2*公[报界 Bm小-km网8-系最-zmw条} Z.-Z 1490℃ 式中：K(m)和E(m)分别为第1类和第2类椭圆 积分，其中m2=4r/(+r)+(Z-Z)门.于是边界积 分方程成为： C.T.+fT-qisrdr=fqTs'rdr (4) (3)温度插值函数 采用常单元插值，此时边界曲线近似为直 线，单元内T,q均为常数，并用中结点表示，将边 图1边界单元划分和边界条件示意图 界离散为N个边界单元 界.则边界条件可以表示如下： 令： TTzn cnig ∈. H,=∫.q"asd (5) 1.5数学模型 Gy=∫r.Tsdr (1)区域内一点温度值用边界值表示. 若ij,Hg与Gg可直接由正规高斯(Gauss)数值积 根据热传导方程(1)以及边界条件，引入权 分计算；对于H,根据守恒定律有H,=一H,;而 函数T*,由加权余量法得到： 可把基本解写成第2类勒让德(Legendre)函数的 (VT)Tdo= L(BI-a)rar- 形式再采用解析法处理. -n既ar 根据式(4)和式(5)可得： (2) 对拉普拉斯(Laplace)算子进行2次分部积 之HT=三G,4 分，并取权函数T满足： 写成矩阵形式： [0{T}=[G{9}. V2T+r-r)=0, 其中[，[G)为WxN阶矩阵，{T,{q}分别为边 式中r-r)为狄拉克(Dirac)函数，i表示热源集 界单元上节点的温度T值和温度的法向梯度9 中点，T表示为点有集中热源时方程的基本解. 值构成的向量.把未知量移到等号左边，已知量 这样得到域内任一点温度T可用边界上的T,9 移至右边，可得 表示为： T+frefar+f roror [A){Z={F} Jr dn 解此线性方程组即可求得边界上的未知T值或 Sgrar+ Trar Jr.dn (3) ∂T/an值，再利用式(3)进一步求得区域内任意 (2)边界积分方程的推导. 一点的温度值，从而可以找到炉缸炉底1150℃ 根据式(3)，如果把点i移到边界上，那么方 等温线的位置. 程中全部是边界变量，即得到边界积分方程： CT+rdSgTdrd0 2计算结果及分析 其中广为三维区域的边界TD与rZ平面的交线， 其计算流程如图2所示， 对于光滑边界，系数C:取1/2，对于不光滑边界， 根据假设条件，某大型高炉的炉底为近似 C,取(1-02π(1-4π).设源点和场点的柱坐标 碳砖介质，取铁水温度为1490℃时，得到炉缸 分别为(r,0,Z)和(r,0,Z),则设上述方程的基本解 侧壁和炉底的热电偶数据，计算得到炉缸炉底 为Ts和qAs,可写成： 各条等温线如图3所示， Tas=o"Tiude 从计算结果可以看出，炉底侵蚀线基本呈 qis=f"qindo= Tid0. J。an 平底形，在炉底的周围侵蚀最为严重，并且各等 其中：To=产-片-2mco0-H(亿-Z 温线在炉底角部侵入深度最大：同时，在炉底中 央侵蚀也较为严重.这样通过侵蚀线了解高护 这样可计算得到： 炉缸炉底的侵蚀状况，操作者可根据侵蚀线调. 2 3 2 . 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 9 年 第 3 期 双 S = K( m ) 兀 「( : + :丁+( Z 一 乙州 ’ “ 、 ; S - 一 · {去〔箭爷等 · _ , 、 , , , 、 〕 D r 乙 L脚 ) 一 八 气脚) }花犷二十 」 C n ( : 一 : 加+ ( Z 一 乙) 不 瑞 六 等一 百( 么一 Z 。 、 ’ “ 2丝飞 刁N j 图 1 边界单元划分和边界条件示意图 界 几 . 则边 界条件可 以表示如 下 : 式 中 : (K m ) 和 (E m )分 别 为第 1 类 和 第 2 类椭 圆 积 分 , 其 中耐 = 4 r 人(r +r 丁+( Z 一 乙丫〕 . 于 是 边 界积 分 方程成 为 : c : + 工T · 、 ; s · r dr 一 工 、 · 双 S · r d-r ( 4 ) ( 3) 温度 插值 函数 . 采用 常单元插值 , 此 时边 界 曲线近似 为 直 线 , 单元 内T, q均 为 常数 , 并 用 中结 点 表示 , 将 边 界 离散为N个边 界 单元 . 令 : T = 了(Z, )r E月 L S 数 学模型 器 一 “ 任几 ’ 一 工 r · 。* A s dr 一 工 : · 产 A S dr (5 ) 风q ( l) 区 域 内一 点温度值 用边界值表 示 . 根据 热传 导方 程 ( 1) 以及 边界条件 , 引 入权 函数 尹 , 由加权 余量法得到 : 方: 2 。 二、 一 rJ, (器 一中 dr - 工 (-T乃盟dr ` 2, 对 拉普拉斯 (L 叩 al e )算子进 行 2 次分 部 积 分 , 并取权 函数 r 满足 : 甲 2厂 + 武 r 一ir ) = O , 式 中武 r 一 r,) 为狄拉 克 (D ir ac ) 函 数 , i 表示 热 源集 中点 , r 表示 为点有集 中热源 时方程 的基 本解 . 这样 得到域 内任一 点温度 界可 用边 界 上 的 T, q 表 示为 : : · 工嚼 dr · 工嚼 dr - ’ t _ 一 , _ r a T 一 _ ! 。 互厂dr + ! 苍士厂dr (3 ) 砂 I ` J ￡ 口 刀 (2 )边 界 积分 方 程 的 推导 . 根据 式(3 ) , 如 果 把点 i 移到 边界 上 , 那 么 方 程 中全 部是边 界 变量 , 即得 到 边界 积 分方程 : c 不+ 工犷.T 。; 。 · r dr “ 一 工犷 。 · 几 . dr “ 其 中厂为三维 区域 的边界 刃功与 ; +Z 一 平 面的交线 , 对 于光滑边界 , 系数 C 取 1/ 2 , 对于 不 光滑边 界 , C 取 ( 1一 02/ 动( 1一 0/ 4 兀 ) . 设 源 点和 场 点的 柱坐标 分别为(r, , 0, 乙 )和 (r, 0, 劝 , 则设上述 方程 的基 本解 为 几和 呱 s , 可写 成 : 双 , 一 f “ 尤灵“ ; 若 i万 , 风与炕可 直 接 由正 规 高斯 (G au s )数 值 积 分计算 ; 对于风 , 根据 守恒定律有拭 二 一 艺拭 ; 而 J 艺 l 可把基本解写成第 2 类勒让 德 (eL ge n dr e) 函数的 形 式再 采用解析法处 理 . 根据 式(4 )和 式 ( 5) 可 得 : qj, G N 月艺 不一 .4H 刀月艺 写 成 矩 阵形 式 : 〔川 王科 = [司 {引 . 其 中【闭 , I叼 为 Nx N 阶矩 阵 , 毛}T , 毛引 分 别 为 边 界 单元 上 节 点 的温 度 T 值和 温 度的 法 向梯度 q 值构成 的向量 . 把未知 量 移到 等号左 边 , 已知 量 移至 右 边 , 可 得 日」{Z } 二 {F } . 解 此线 性方 程组 即可 求 得 边 界上 的 未知 T值 或 刁T/ 刁n 值 , 再 利用 式 (3 ) 进一 步求 得 区域 内 任 意 一 点 的温度值 , 从 而 可 以找 到 炉缸 炉 底 1 150 ` C 等温线 的 位置 . 。 ; S 一 f ’ 、 ; · d 。 一 工 ” 鲁 d 。二 其 中 : 二 一 命 :尸一 、 一 2二 ` · c o s (。一 。) + ( z 一 ; ) 2 :一 这样可 计算得 到 : 2 计 算结 果 及 分析 其 计算流程如 图 2 所示 . 根 据 假设 条件 , 某大 型 高炉 的炉 底 为近似 碳 砖介质 , 取 铁水 温度为 1 4 90 ℃ 时 , 得到 炉 缸 侧 壁和 炉底 的热 电偶 数据 , 计算得到炉 缸 炉 底 各 条等温线如 图 3 所 示 . 从 计 算结果 可 以看 出 , 炉 底侵蚀线基 本 呈 平底形 , 在炉底 的 周 围侵蚀 最 为严重 , 并且 各 等 温线在 炉底角部侵入深 度最大 ; 同时 , 在炉底 中 央侵蚀也 较 为严重 . 这 样通 过侵蚀 线 了解高炉 炉 缸炉底 的侵蚀状况 , 操作者 可 根据侵蚀线调