xm-al 103.需要指出,一般e(E>0)越小,则M越大,但N不是唯一的例如 100时,取M=300也行(但N=190则不行,为什么?) 例1-4设<1 证明数列 g2,q2 的极限是0。 证因-0=p2-0= 令1+t(由于<1,故t>0), 则 (1 +t)=1+nt+ (n-1) 所以 x-0= (1+) v>0要使x-0<E,只要 即"t,取Lte」,则当n>M时 有 lr-olke 所以 imq2=0<1 在以上证明中为了取得N的较简单的表达式,应用了二项式定理。如果从1<通过取 In a In e 对数得 7p,取[lnJ也可以。在用e-M定义证明极限时,为了得到N的 较为简单的表达式,要对x-l进行适当的放大,其主要手法是使-l≤q(n), q(n)<E时,比较容易地解出n>(e) sin(n+1) 0 例2-2用极限定义证明→n2+3n+1 证因为 sin(n+ -02+3+x2+3+1 in(n+ x2-0 2+3m+1 <E E>0要使-0<E,只要,即 2> N 则对n>M 有 -0=+1 0|<E 所以 1) n2+3n+1.需要指出，一般 越小，则 越大，但 不是唯一的.例如 时，取 也行（但 则不行，为什么？）。 例1-4 设 ，证明数列 的极限是0。 证 因 令 ,(由于 ，故 )， 则 所以 . 要使 ，只要 ，即 ，取 ，则当 时， 有 ， 所以 在以上证明中为了取得N的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从 通过取 对数得 ，取 也可以。在用 定义证明极限时，为了得到N的 较为简单的表达式，要对 进行适当的放大，其主要手法是使 ，当 时，比较容易地解出 。 例 2-2 用极限定义证明 证 因为 要使 ，只要 ，即 。取 ，则对 有 所以