<E 在以上证明中。我们也可以使 3n。但若使 n2+3+1,那N的表 达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一,证明时我们力求使N更简单一些。需要 指出:一般情况下,用定义只能验证某数是否为某数列的极限,不能用它来求数列的极 限,但通过数列的E-N定义可以证明有关的运算法则及定理,再通过它们来求极限。 下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。 、收敛数列的性质及运算法则 对于一个数列,如何判断它是否收敛(即极限是否存在)?如果收敛,又怎样求出它的 极限?这是极限理论中至关重要的两个基本问题,为此我们必须讨论数列极限的性质及 运算法则。 定理设 lim x,=a, lim y,=b N→ 1)1m(xy)=mx土1m%=a土 (2) lim(z, D )=lim x dim a=aLb lim >, lim xx ≠ ()imx=aim-a=0(由此可得)JimC=C imx2=a→ lim x=|l (1)仅就 (*,+yn)=lim xm +lim yx=a+b 证之 由如x=a,1my=b E>0,31>0n>M,有3-a|<ef2, ve>0,M2>0,n>M2,有p-a<e/2 因为 (x+y)-a+b≤(x-a)+(”2-b)=-a+b-b 所以 ve>0,N=max(M,M2)>0使得vn>M,有 (x2+y)-(a+b)≤|-a+以-b≤+5=c 注证明中出现了M,主要是为了体现对同一标准2巧→a,)→b“速度”的不 X →0 同。例如 当2200时 200,取 M1=200, -4<5,p,-b<5 E 200,取M2=3。至于 2,中用2是为了 最后结论与定义一致。 (2)、(3)在后面加以证明,(4)、(5)可直接用极限定义证明(读者自证)。 0 定理 若数列{x】有界,且 lim x,,,=0 N→在以上证明中。我们也可以使 。但若使 ，那N的表 达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一，证明时我们力求使N更简单一些。需要 指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极 限，但通过数列的 定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。 下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。 二、收敛数列的性质及运算法则 对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如果收敛，又怎样求出它的 极限？这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及 运算法则。 定理 设 ，则 （1） （2） （3） （4） （由此可得） （5） 证 （1）仅就 证之。 由 知： 因为 所以 ，有 注 证明中出现了 主要是为了体现对同一标准 “速度”的不 同。例如 。当 时， ，取 ，取 。至于 ，中用 是为了 最后结论与定义一致。 （2）、（3）在后面加以证明，（4）、（5）可直接用极限定义证明（读者自证）。 定理 若数列 有界，且 ，则