证由{x]有界知M>0,Vm∈M,有|xl≤M, 又12=0,可知,V80M0y>,有<立 因为-k,M=(当为>M时) 所以,VE>0,3N>0,Vn>M,有xy-0<E 也即m不y=0 读者也许注意到了,对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时,项数N是一 个具体的表达式(表达式不惟一)。而对于抽象的数列极限(如以上的法则等)证明项 数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的,它们虽然不尽相同,但是目的是为了保 证项数N的存在性。用E-M定义证明一些命题,初学者有一定的难度,下面再介绍夹 逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性,相对而言,比用E-M定义要简单一 定理(夹逼定理)已知三数列{x],{yn(2满足Wn∈My三≤2且 limy=a, lima,=a n lim x,=a 证由 Y, =a lm z,=a 得 vE>0,丑M1>0,n>M,有-a|<E ve>0,M2>0,vx>M2,有,-a n>max(N, N2)H E<yn≤x≤2<a+E x a<a 所以E>0,3N=ma(M,M2,n>M,有x-al<E,有 所以 xx=a lim n=1 例2-3证明 1 证欲证1m》2=1 1|=0 即证 1 因为n>1时 1>0,所 令 即 所以 (1+a2) n(n 即 因为证  由 有界知 ，有 ， 又由 ，可知， ，有 因为 （当 时） 所以， ，有 ， 也即 . 读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数N是一 个具体的表达式（表达式不惟一）。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项 数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保 证项数N的存在性。用 定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹 逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用 定义要简单一 些。 定 理 （ 夹 逼 定 理 ） 已知三数列 满足 且 则 证  由 ,   得 当 时， 即 所以 有 所以 . 例 2-3 证明 ， 证  欲证 ，即证 因为 时， ，所以 令 即 所以 即 又因为