所以 lm0=0.1m 由于x→ →a《x-1,(读者自己证明) lim u=0 n=0 所以x 定理(极限的惟一性)设如列=a,mx=b 则a=b 证0≤k-b=(a-x)+(x2-b)s-a+x-b 由已知条件可知 k-=0.如mk-b=0,所以如m-+k- lm0=0 由夹逼定理可知 lim a-b=a-b=0 所以 定理(极限的保号性)设mx=a,且c<a<d,则丑N>0.n>M,有 c<x <d d 证因a<d,故d-a>0。取 E1 >0,3>0.Vn>M|-a 2 d+a <a+ 0,M2>0,Vn>M2 d-c 有因为c<a,所以a-c>0,取 E2 2 取N=max{M,M2},则当为>M时,有 <x.<d 推论若N收敛,则(x)有界 1m x 证因为 收敛,即使彐a∈R lim xx im 那么 由于k|<2+1,据定理1-25可知,丑N>0,n>M有 取 M=max{…下2+1 则切n∈M,有x<M,所以{鸡有界 以上的推论表明,有界是数列收敛的必要条件但是有界数列也不一定收敛,例如 虽然有界,但它发散所以 由于 ，（读者自己证明） 所以 ,即 . 定理 （极限的惟一性） 设 ，则 证  由已知条件可知： ,所以 又 由夹逼定理可知 所以 定 理 （ 极 限 的 保 号 性 ） 设 ,且 ，则 ,有 。 证  因 ，故 。取 ，有 , 即 有因为 ，所以 ，取 ，有 , 即 取 ，则当 时，有 推论  若 收敛，则 有界. 证  因为 收敛，即使 那么 由于 ，据定理1-2-5可知， ， ,有 取 则 ，有 ，所以 有界. 以上的推论表明，有界是数列收敛的必要条件.但是有界数列也不一定收敛，例如 虽然有界，但它发散