潘凤文等：基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 697 其中， Su I >0,应用Schur补，则有P11- ASI y IPAJ P1AS11+P12B:CS11 S>0,即 +P12A,S12 P11A+P12B.C X-Y>0 (26) 根据上述(18)~(26)的推导过程，可总结为 -r .TCT_SHLI-SucDs-Si; 如下的定理形式 LT-CTD! 定理1：给定正定标量y>0,系统(17)是渐近 则有 稳定的，条件Ga。<y成立，当且仅当存在对称正 SIA+ATSI Wo B To 定矩阵X,Y,矩阵M,N,Z,D,使得如下线性矩阵 PuB+ Vo P12B,D LT -CTDT 不等式成立 <0 -1 DT YA+ATY W YB T -y21 V XB+ZD LT-CTDT <0 (22) -I -DTDT 式中：W0=A+S1ATP1I+S11 CTBIPT2+S12APH2, -y21 (27) To=SILT-SIICT DT-S12CT.Vo=PuA+ATPI+ X-Y>0 (28) P2B.C+CBIPI 式中：“*”表示矩阵的对称转置；G。<y表示从 定义：Z=P12B,Z=CST,2=P12AST,则有： d到的传递函数的H性能指标小于给定值y WI=A+SHATPI+SICTZT+2T,TI=SILT- W=YA+ATX+CTZT+MT,T=LT-CTDT-NT S11CTDF-2T,V1=P11A+ATP11+ZC+CTZT.则公 V=ATX+XA+CTZT+ZC. 式(22)可重新表述为 所设计的鲁棒H滤波器可以通过求解以下优 ASI+SIAT WI B T 化问题得到： VI PuB+ZD LT-CTDT 0 *一1 -DTDT xYMNZD,Y. (29) -y21 s.L(27),(28) (23) 公式(29)中的半定规划问题可以通过Matlab 从公式(23)中可以看出，矩阵W1中依然存在 中的第三方工具箱Yalmip进行求解，其中诸如 矩阵变量的耦合，从而产生非线性.那么，公式 sedumi,,sdpt3,mosek等求解器都能处理以上的凸 (23)分别左乘和右乘矩阵diag{Sl,I,I,可得 优化问题s-2.由于mosek的计算速度、计算精度 STA+ATST W2 STB T2 和稳定性等综合性能最为出色，且免费供学术使 V2 PuB+ZD LT-CTDT 用，因此，本文中的线性矩阵不等式问题采用 <0 *一I -DTDT mosek求解器进行求解.获得矩阵变量后，可根据 -y21 公式(19)，即1-XY-1=P12ST的奇异值分解来获 (24) 得矩阵P12和S12.进而，所获得的鲁棒H滤波器的 式中：W2=SA+ATP11+CTZT+S2T,I2=LT- 状态空间矩阵可表示为：A,=P2(S2),B,=PZ, CT DI -STIZT.V2=PIA+ATPI+ZC+CTZT Cs=Z(ST)-1 定义Y=Sl,X=P1,M=2Sl=Y,N=2Sl= ZY,则有以下线性矩阵不等式形式： 4仿真实验 YA+ATY W YB T 通过在Matlab中求解优化问题(29)，获得干 V XB+ZD LT-CTDT <0 扰抑制性能指标y=5.7274×10-5.最终获得所设计 -I -DTDT 的鲁棒H滤波器状态空间矩阵分别为 -y21 -0.0002 0.0047 -0.0069 (25) A,= -0.0080 -0.1062 0.1149 B,= 式中：W=YA+ATX+CTZT+MT,T=LT-CTDF- 0.0124 0.0906 -0.1349 NT,V=ATX+XA+ZC+CTZT -0.0010 -0.0003 -0.016901 0.0168 0.0074 0.1727 0 对称矩阵P是正定的，也就是说P>0,那么有 Cs=10-4× -0.0254 -0.0090 -0.3921 0其中， J T PAJ˜ =   AS11 A P11AS11 + P12BsCS11 +P12AsS T 12 P11A+ P12BsC   , J T PB˜ =   B P11B+P12BsD   , J TC˜ T=   S11L T−S11C TD T s−S12C T s L T−C TD T s   . 则有   S11A+ A TS11 W0 B T0 ∗ V0 P11B+ P12Bs D L T −C T D T s ∗ ∗ −I D˜ T ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （22） W0 = A+S11A T P11 +S11C TB T s P T 12 +S12A T s P T 12 T0 = S11L T −S11C T D T s −S12C T s V0 = P11A+ A T P11+ P12BsC+C TB T s P T 12 式 中 ： ， ， . Z = P12Bs Z˜ = CsS T 12 Zˆ = P12AsS T 定义： 12 ， ， ，则有： W1 = A+S11A T P11 +S11C TZ T + Zˆ T T1 = S11L T− S11C T D T s − Z˜ T V1 = P11A+ A T P11 + ZC+C TZ T ， ， . 则公 式（22）可重新表述为   AS11 +S11A T W1 B T1 ∗ V1 P11B+ Z D LT −C T D T s ∗ ∗ −I −D T D T s ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （23） S −1 11 从公式（23）中可以看出，矩阵 W1 中依然存在 矩阵变量的耦合，从而产生非线性. 那么，公式 （23）分别左乘和右乘矩阵 diag{ ，I，I，I}，可得   S −1 11 A+ A TS −1 11 W2 S −1 11 B T2 ∗ V2 P11B+ Z D LT −C T D T s ∗ ∗ −I −D T D T s ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   <0 （24） W2 = S −1 11 A+ A T P11 +C TZ T +S −1 11 Zˆ T T2 = L T− C T D T s −S −1 11 Z˜ T V2 = P11A+ A T P11 + ZC+C TZ T 式 中 ： ， ， . Y = S −1 11 X = P11 M = ZSˆ −1 11 = ZYˆ N = ZS˜ −1 11 = ZY˜ 定义： ， ， ， ，则有以下线性矩阵不等式形式：   Y A+ A TY W YB T ∗ V XB+ Z D LT −C T D T s ∗ ∗ −I −D T D T s ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （25） W = Y A+ A TX+C TZ T + MT T = L T −C T D T s − N T V = A TX+ XA+ ZC+C TZ T 式 中 ： ， ， . 对称矩阵 P 是正定的，也就是说 P > 0 ，那么有 J T PJ = [ S11 I I P11 ] > 0 P11− S −1 11 > 0 ， 应 用 Schur 补 ，则有 ，即 X−Y > 0 （26） 根据上述（18）～（26）的推导过程，可总结为 如下的定理形式. γ > 0 Gz˜d¯ ∞ < γ 定理 1：给定正定标量 ，系统（17）是渐近 稳定的，条件 成立，当且仅当存在对称正 定矩阵 X，Y，矩阵 M，N，Z，Ds，使得如下线性矩阵 不等式成立   Y A+ A TY W YB T ∗ V XB+ Z D LT −C T D T s ∗ ∗ −I −D T D T s ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （27） X−Y > 0 （28） Gz˜d¯ ∞ < γ d¯ z˜ H∞ γ 式中：“*”表示矩阵的对称转置； 表示从 到 的传递函数的 性能指标小于给定值 . W =Y A+ A TX+C TZ T + MT T= L T −C T D T s − N T V= A TX+ XA+C TZ T + ZC ， ， . 所设计的鲁棒 H∞滤波器可以通过求解以下优 化问题得到： min X,Y,M,N,Z,Ds γ, s.t. (27),(28) （29） I− XY−1 = P12S T 12 P12 S12 As = P −1 12 Zˆ(S T 12) −1 Bs = P −1 12 Z Cs = Z˜(S T 12) −1 公式（29）中的半定规划问题可以通过 Matlab 中的第三方工具箱 Yalmip 进行求解 ，其中诸如 sedumi，sdpt3，mosek 等求解器都能处理以上的凸 优化问题[25−26] . 由于 mosek 的计算速度、计算精度 和稳定性等综合性能最为出色，且免费供学术使 用 ，因此 ，本文中的线性矩阵不等式问题采 用 mosek 求解器进行求解. 获得矩阵变量后，可根据 公式（19），即 的奇异值分解来获 得矩阵 和 . 进而，所获得的鲁棒 H∞滤波器的 状态空间矩阵可表示为： ， ， . 4    仿真实验 γ = 5.7274×10−5 通过在 Matlab 中求解优化问题（29），获得干 扰抑制性能指标 . 最终获得所设计 的鲁棒 H∞滤波器状态空间矩阵分别为 As =   −0.0002 0.0047 −0.0069 −0.0080 −0.1062 0.1149 0.0124 0.0906 −0.1349   Bs =   −0.0010 −0.0003 −0.0169 0 0.0168 0.0074 0.1727 0 −0.0254 −0.0090 −0.3921 0   Cs = 10−4× ， ， 潘凤文等： 基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 697 ·