·696 工程科学学报，第43卷，第5期 d,把电阻和容量随温度变化的关系式(6)~(9)进 式中：x,为滤波器的状态向量；A,B,C,D,是待 一步简化为以下线性形式： 设计的适当维数的状态空间矩阵：sOC为SOC的 △Ro=lod (10) 估计值 △R1=I1d (11) 定义增广矩阵：=[王x,「，则滤波误差动态 △R2=2d (12) 方程为： △Q=l3d (13) 年=Ar+B。+Ei+Gyop (17) 式中：4，=0,1,2)表示阻值（或者容量）变化与温度 乏=C+Dl+Fd-Dsyop 变化的比值20 把温度对模型参数的影响与系统(1)相结合， 式中，A=1 &a-e B 则系统的非线性动力学方程可重新表述为： C=L-D.C -C:D=-D,D.F= 1 1=- -D,F,=SOC-SOC I(R+hd+C 对于系统(17)，根据有界实引理，那么存在一 个对称正定矩阵P使得 X2=- Ca(Rn+hd+C (14) ATP+PA PB CT 1 -IδT 0 (18) Q+hdk *-y21 UT=a.SOC+b-(Rno+lod)le-x1-x2 式中，I为适当维数的单位矩阵，y是H性能指标， 式中，1=U1,x2=U2,x3=SOC,选取状态向量x= “*”表示矩阵的对称转置.由于公式(18)中存在决 [x3,系统输出y=[Ur soc le d下 策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式.因 选取稳态运行点：x1,p=0.124,x2op=0.123, 此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩 x3.op=0.5.Ic.op 1,dop =0;=x-xop:Ie Ic-Ic.op 阵不等式.定义正定矩阵P及其逆矩阵具有以下 d=d-dop,j=y-yop采用滑动线性法（切线法）， 分解形式： 在运行点处进行线性化，可得到鲁棒H滤波器设 P11 P2.pl= S11 S12 P= 由PP-l=L, 计所需的线性化模型： ，S22 元=AF+Ble+Ed 可得 P11S11+P12ST2P11S12+P12S =C+Dle+Fd (15) PT2S11+P22ST2 PT2S12+P22S22 e1-163 式中，P11,P12,P22,S11,S12,S22均为适当维数的中 SOC=L 式中：=[下5=[0 soc I d. 间变量矩阵 则有 「-0.036 0 01 [0.0004 0 0 A= 0 -0.00190.B= .E= 0 P1S1+P12S72=1 (19) -0.4348 0 0 0 0.0174 3600 3600 PT2S11+P22ST2=0 (20) [-1 -1 1/3 1 -0.0087 0.0012 定义：J= Su Pu P12 0 0 0 C二 D- 0 那么可得P= 0 0 0 0 s0f P2 P22 100 0 1 S11 PuSu+P12ST2 L=[001 即 PJ- 3 鲁棒SOC估计器设计 I Pu 针对线性化系统(15)，设计一个渐近稳定的 H滤波器，实现对SOC的估计，使得传递函数（从 对矩阵不等式(18)进行同余变换，左乘矩阵 外部扰动到SOC估计误差)的H范数小于给定值 diag{J,L,,右乘矩阵diag{JL,,可得 y,该滤波器具有以下状态空间形式： JTPAJ+JATPJ JTPB JTCT is=Asxs+Bsy DT <0 (21) (16) SOC=Cxs+Dsy y21d，把电阻和容量随温度变化的关系式（6）～（9）进 一步简化为以下线性形式： ∆R0 = l0d （10） ∆R1 = l1d （11） ∆R2 = l2d （12） ∆Q = l3d （13） l 式中： i (i = 0,1,2) 表示阻值（或者容量）变化与温度 变化的比值[20] . 把温度对模型参数的影响与系统（1）相结合， 则系统的非线性动力学方程可重新表述为：    x˙1 = − 1 C1(Rn1 +l1d) x1 + Ic C1 x˙2 = − 1 C2(Rn2 +l2d) x2 + Ic C2 x˙3 = − 1 Q+l3d Ic UT = a ·SOC+b−(Rn0 +l0d)Ic − x1 − x2 （14） x1 = U1 x2 = U2 x3 = SOC x = [ x1 x2 x3 ]T y = [ UT SOC Ic d ]T 式中， ， ， ，选取状态向量 ，系统输出 . x1,op = 0.124 x2,op = 0.123 x3,op = 0.5 Ic,op = 1 dop = 0 x¯ = x− xop ¯Ic = Ic − Ic,op d¯ = d −dop y¯ = y− yop 选 取 稳 态 运 行 点 ： ， ， ， ， ； ， ， ， . 采用滑动线性法（切线法）， 在运行点处进行线性化，可得到鲁棒 H∞滤波器设 计所需的线性化模型：    x˙¯ = Ax¯ + B¯Ic + Ed¯ y¯ = Cx¯ + D¯Ic + Fd¯ SOC¯ = Lx¯ （15） x¯ = [ x¯1 x¯2 x¯3 ]T y¯ = [ U¯ T SOC¯ ¯Ic d¯ ]T A=   −0.036 0 0 0 −0.0019 0 0 0 0   B=   0.0004 0 −0.4348 3600   E=   0 0 0.0174 3600   C=   −1 −1 1/3 0 0 1 0 0 0 0 0 0   , D=   −0.0087 0 1 0   ,F=   0.0012 0 0 1   , L = [ 0 0 1 ]. 式中： ， ， ， ， ， 3    鲁棒 SOC 估计器设计 γ 针对线性化系统（15），设计一个渐近稳定的 H∞滤波器，实现对 SOC 的估计，使得传递函数（从 外部扰动到 SOC 估计误差）的 H∞范数小于给定值 ，该滤波器具有以下状态空间形式: { x˙s = Asxs + Bsy SOCˆ = Csxs + Dsy （16） xs As Bs Cs Ds SOCˆ 式中： 为滤波器的状态向量； ， ， ， 是待 设计的适当维数的状态空间矩阵； 为 SOC 的 估计值. x˜ = [ x x ¯ s ]T 定义增广矩阵 ，则滤波误差动态 方程为：    ˙x˜ = A˜ x˜ + B˜ ¯Ic + E˜d¯+Gyop z˜ = C˜ x˜ + D˜ ¯Ic + F˜d¯− Dsyop （17） A˜ = [ A 0 BsC As ] B˜ = [ B Bs D ] E˜ = [ E BsF ] G = [ 0 Bs ] C˜ = [ L− DsC −Cs ] D˜ = −Ds D F˜ = −DsF z˜ = SOC−SOCˆ 式 中 ， ， ， ， ， ， ， ， . 对于系统（17），根据有界实引理，那么存在一 个对称正定矩阵 P 使得   A˜T P+ PA P ˜ B˜ C˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （18） 式中，I 为适当维数的单位矩阵， γ 是 H∞性能指标， “*”表示矩阵的对称转置. 由于公式（18）中存在决 策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式. 因 此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩 阵不等式. 定义正定矩阵 P 及其逆矩阵具有以下 分解形式： P=   P11 P12 P T 12 P22   P −1 =   S11 S12 S T 12 S22   PP−1 = I   P11S11 + P12S T 12 P11S12 + P12S22 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12S12 + P22S22   =   I 0 0 I   P11 P12 P22 S11 S12 S22 ， ，由 ， 可得 ， 式中， ， ， ， ， ， 均为适当维数的中 间变量矩阵. 则有 P11S11 + P12S T 12 = I （19） P T 12S11 + P22S T 12 = 0 （20） J =   S11 I S T 12 0   PJ =   P11 P12 P T 12 P22     S11 I S T 12 0   =   P11S11 + P12S T 12 P11 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12   PJ =   I P11 0 P T 12   定义： ，那么可得 ， 即 . 对矩阵不等式（18）进行同余变换，左乘矩阵 diag{J T ，I，I}，右乘矩阵 diag{J，I，I}，可得   J T PAJ˜ + J TA˜T PJ JT PB J ˜ TC˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （21） · 696 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期