第一章量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符H对任何态矢量a）都有关系(aHa≥0〉成立，则H是正定厄米算符. 如果F是一个线性算符，求证：F+F是一个正定厄米算符：r(FF)等于F在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当F-0时，存在关系r(F+F)=0。 【证明】因为 (F)=F+F 按厄米算符定义广-4，可见F+F是厄米算符。任取正交完备系{)}，则有 (lp*Fm）=ΣnF"mXmFl） =∑(mFn以(mlFn) =∑(mFm)f≥o 所以F+F是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 FF)=∑FFm) =∑(nFlmy≥0 可见，当矩阵元(mFn)=0时，则r(FF)=0:对所有的n)成立(mFn=0,则F=0 【12】设a,B)是两个有限模仿的矢量，求证 rda恥=(Bla吵da以B=|BXal 【证明】(1)令p-BXa 任取正交完备系《}，则有矩阵元 P.n=(mlPn）=(m aXB n） 而 tr(P)=∑Pn=∑nla以eln) =∑n以nla=(ela) 利用了完备条件∑n以n=1. 4 4 第一章 量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符 H 对任何态矢量 a 都有关系 a H a ≥ 0 成立，则 H 是正定厄米算符。 如果 F 是一个线性算符，求证：F F+ 是一个正定厄米算符；tr(F F) + 等于 F 在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当 F=0 时，存在关系 tr(F F) + =0。 【证明】因为 F F F F + + + ( ) = 按厄米算符定义 A+ =A，可见 F F + 是厄米算符。任取正交完备系{n }，则有 0 2 = ≥ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ + + m m m m F n m F n m F n n F F n n F m m F n 所以 F F+ 是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 0 ( ) 2 = ≥ = ∑ ∑ + + m n n F n tr F F n F F n 可见，当矩阵元 m F n = 0 时，则 tr(F F) + =0；对所有的 n 成立 m F n = 0 ，则 F=0 【1.2】设 a , β 是两个有限模仿的矢量，求证 tr a β = β a a β = β a + ( ) ;( ) 【证明】（1）令 p = β a 任取正交完备系{ } n ，则有矩阵元 P m P n m a n m,n = = β 而 n n a a tr P P n a n n n n n n β β β = = = = ∑ ( ) ∑ , ∑ 利用了完备条件∑ n n = 1 n