鲁东大学：《高等量子力学》课程教学资源（讲义）高等量子力学习题集（共八章）

@善来大身 高等量子力学习题集 王德华编著 鲁东大学物理学院

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前言 《高等量子力学》是物理学院原子分子物理和理论物理专业硕士 研究生的一门学位专业基础理论课，在研究生的培养过程中具有重要 作用 学生在学习《高等量子力学》的过程中，经常面临这样的问题： 觉得老师在课堂上讲解的内容似乎都能听明白，但是，在遇到具体的 有关量子力学的问题时，却往往感到无从下手，为了提高学生处理和 解决问题的能力，我们根据授课教材，搜集整理了大量的习题及其解 答，分章编成习题集，供学生参考。根据教学安排，每一章讲完后， 可以从习题集中选择相应习题进行练习，对每一道习题都精心准备了 较详细的参考答案和疑难，点分析。本习题集中的习题大致可分为三大 类：第一类是对教材中没有给出详细推导的公式进行了推导；第二类 是教材中基本理论的具体应用；第三类是对教材内容的推广和补充 本书可作为物理学院各专业硕士研究生学习《高等量子力学》课 程的参考书，也是学生考取博士研究生必备的参考资料 由于我们的水平有限，书中难免有许多不当和不完善之处，恳请 各位读者不吝赐教， 王德华 2011-5-6于鲁东大学

2 前 言 《高等量子力学》是物理学院原子分子物理和理论物理专业硕士 研究生的一门学位专业基础理论课,在研究生的培养过程中具有重要 作用. 学生在学习《高等量子力学》的过程中,经常面临这样的问题: 觉得老师在课堂上讲解的内容似乎都能听明白,但是,在遇到具体的 有关量子力学的问题时,却往往感到无从下手.为了提高学生处理和 解决问题的能力,我们根据授课教材，搜集整理了大量的习题及其解 答，分章编成习题集，供学生参考。根据教学安排，每一章讲完后， 可以从习题集中选择相应习题进行练习，对每一道习题都精心准备了 较详细的参考答案和疑难点分析。本习题集中的习题大致可分为三大 类:第一类是对教材中没有给出详细推导的公式进行了推导;第二类 是教材中基本理论的具体应用;第三类是对教材内容的推广和补充. 本书可作为物理学院各专业硕士研究生学习《高等量子力学》课 程的参考书,也是学生考取博士研究生必备的参考资料. 由于我们的水平有限,书中难免有许多不当和不完善之处,恳请 各位读者不吝赐教. 王德华 2011-5-6 于鲁东大学

目 录 第一章量子力学的一般描述.4 第二章运动方程与路径积分 35 第三章角动量理论及量子体系的对称性62 第四章二次量子化86 第五章散射理论109 第六章多粒子体系的近似处理方法… .131 第七章相对论量子力学…146 第八章量子信息论的物理基础158

3 目 录 第一章 量子力学的一般描述 ……………………...……………….4 第二章 运动方程与路径积分 ………………………………………35 第三章 角动量理论及量子体系的对称性 ………………………….62 第四章 二次量子化………….…………………………………….….86 第五章 散射理论……………………………………………………..109 第六章 多粒子体系的近似处理方法 ……………………………. 131 第七章 相对论量子力学 ……….………………………………….. 146 第八章 量子信息论的物理基础 ……………………………………158

第一章量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符H对任何态矢量a）都有关系(aHa≥0〉成立，则H是正定厄米算符. 如果F是一个线性算符，求证：F+F是一个正定厄米算符：r(FF)等于F在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当F-0时，存在关系r(F+F)=0。 【证明】因为 (F)=F+F 按厄米算符定义广-4，可见F+F是厄米算符。任取正交完备系{)}，则有 (lp*Fm）=ΣnF"mXmFl） =∑(mFn以(mlFn) =∑(mFm)f≥o 所以F+F是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 FF)=∑FFm) =∑(nFlmy≥0 可见，当矩阵元(mFn)=0时，则r(FF)=0:对所有的n)成立(mFn=0,则F=0 【12】设a,B)是两个有限模仿的矢量，求证 rda恥=(Bla吵da以B=|BXal 【证明】(1)令p-BXa 任取正交完备系《}，则有矩阵元 P.n=(mlPn）=(m aXB n） 而 tr(P)=∑Pn=∑nla以eln) =∑n以nla=(ela) 利用了完备条件∑n以n=1. 4

4 第一章 量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符 H 对任何态矢量 a 都有关系 a H a ≥ 0 成立，则 H 是正定厄米算符。 如果 F 是一个线性算符，求证：F F+ 是一个正定厄米算符；tr(F F) + 等于 F 在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当 F=0 时，存在关系 tr(F F) + =0。 【证明】因为 F F F F + + + ( ) = 按厄米算符定义 A+ =A，可见 F F + 是厄米算符。任取正交完备系{n }，则有 0 2 = ≥ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ + + m m m m F n m F n m F n n F F n n F m m F n 所以 F F+ 是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 0 ( ) 2 = ≥ = ∑ ∑ + + m n n F n tr F F n F F n 可见，当矩阵元 m F n = 0 时，则 tr(F F) + =0；对所有的 n 成立 m F n = 0 ，则 F=0 【1.2】设 a , β 是两个有限模仿的矢量，求证 tr a β = β a a β = β a + ( ) ;( ) 【证明】（1）令 p = β a 任取正交完备系{ } n ，则有矩阵元 P m P n m a n m,n = = β 而 n n a a tr P P n a n n n n n n β β β = = = = ∑ ( ) ∑ , ∑ 利用了完备条件∑ n n = 1 n

(2)由算符性质 w4|p〉=(《4w少 wl(a以Bl）=(aXBw' =(《ea'(《Bw》'=(《Bw'(a wXap〉 对任意态矢上式成立，则有a以B孙=BXa。 【1.3】设算符A存在逆算符A,试将算符(A-2B)展开成1的幂级数（这里，入是任意 参数，B是任意算符)。 【解】把(A-B)展开，设 (4-B)=2x。 这里X是待定算符，以(A-B)左乘上式两端给出 1=立(A-B)X。 =4AK,+∑rAK,-Bx) 比较两边无同次幂的系数，给出 n=0,X。=A1 n=1.X=A-BXo=A-BA- 最后求出 Xn=A-BX n=1,2,3… 这样有展开式 (A-B)=∑2严X。 =0 =A+2ABA+2 A-BA-BAT+·

5 （2）由算符性质 + • ψ A ϕ = ( φ Aψ ) 则 ψ β φ φ β ψ β ψ φ ψ β φ φ β ψ a a a a a • • • • + • = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 对任意态矢上式成立，则有 a β = β a + ( ) 。 【1.3】设算符 A 存在逆算符 A-1，试将算符 1 ( ) − A − λB 展开成λ 的幂级数（这里，λ 是任意 参数，B 是任意算符）。 【解】把 1 ( ) − A − λB 展开，设 n n n A B ∑ X ∞ = − − = 0 1 ( λ ) λ 这里 X 是待定算符，以(A − λB) 左乘上式两端给出 ( ) 1 ( ) 1 1 0 0 − ∞ = = = + − = − ∑ ∑ n n n n n x n n AX AX BX A B X λ λ λ 比较两边 " λ 同次幂的系数，给出 1 1 0 1 1 1 0 1, 0, − − − − = = = = = n X A BX A BA n X A ………… 最后求出 Xn = A−1 BXn−1 n = 1,2,3,L 这样有展开式 = + + +L − = − − − − − − = − ∑ 1 1 1 2 1 1 1 0 1 ( ) A A BA A BA BA A B X n x n n λ λ λ λ

【1.4】求证关于算符的以下几个定理 (1)若[4，B]≠0，a是一个实参量，求证 eBe=(eBe-) (2)在上述条件下，求证 e““=B+a4: guLaal+ (3)设f(B)是算符B的函数，求证 eaf(B)ea=f(eBe-) 【证明】(1)当=1时，有 eBe=eBe 把乘积右端(ea4Beal)P展开成e4Bea的连乘积，并利用条件eae-at=l,得 (eBea)”=eBeeBeu.…eBe =eaBB…BBea=eBe (2)令F(a)=eBea,展开成a的幂级数公式，是 ra-rer 易求出展开系数分别为 F(0)=B 85=(4a-Ra4-k 恶-k 把以下展开系数代入级数式中，得到结论。特别当[A,B=0,有结果是 eBe-a=B (3)令fB)=2CB

6 【1.4】求证关于算符的以下几个定理 （1）若[ ] A, B =/ 0，a 是一个实参量，求证 aA aA aA aA n e Be (e Be ) − − = （2）在上述条件下，求证 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] +KK = + + + − A A A B a A A B a e Be B a A B aA aA , , , 3! , , 2! , 3 2 （3）设 f (B) 是算符 B 的函数，求证 ( ) ( ) aA aA aA aA e f B e f e Be− = 【证明】（1）当 n=1 时，有 aA aA aA aA e Be e Be − − = 把乘积右端 aA aA n (e Be ) − 展开成 aA aA e Be− 的连乘积，并利用条件 = 1 aA −aA e e ，得 aA aA aA n aA aA aA n aA aA aA aA aA aA e BB BBe e B e e Be e Be e Be e Be − − − − − − = = = L ( ) L （2）令 aA aA F a e Be− ( ) = ，展开成a 的幂级数公式，是 n n a n a n a F a F a 0 ! 1 ( ) ( ) ∑ = ∂ ∂ = 易求出展开系数分别为 [ ] [ ] A [ ] A B a F AF a F a A A B a F F B a a a , , ( ( ) ( ) , (0) 2 0 2 0 0 = ∂ ∂ = − = ∂ ∂ = = = = 把以下展开系数代入级数式中，得到结论。特别当[A, B] = 0，有结果是 e Be B aA aA = − （3）令 ∑= = x n n n f B C B 0 ( )

利用结论(1)，有 e“fBe-CeBe =∑c(eBe)° =f(eaBe-a 证毕 【1,5】设算符A,B满足条件【4，B川=0，IA,BB]=C(常数)， 求证e=ee"e 【i证明】令@)=eeme卓l咖 则 @=ee-e。uw 6 +e中Bee。lp +eee(←adL.Belw +eee当时ew(--alld.B]B0 由于算符的不对易性质，在求导运算时，算符的位置不能随意交换。其中第一项中的 e加Aea,在算符A左边插入ebe Ae-Ba=l,其中emAe如部分，利用13题(2)式，并 注意到条件ⅡA,BB=C,得到 e-de"=4+al4.B+. 于是第一项为 e"e+d4.B]+4.Bx eueuly (2) 把上式与(1)中的第二项合并，得

7 利用结论（1），有 aA aA aA aA n n n aA n aA x n aA aA n f e Be C e Be e f B e C e B e − − ∞ = − = − = = = ∑ ∑ ( ( ) ( ) 0 0 证毕 【1.5】设算符 A，B 满足条件[ ] [ ] A, B , A = 0,[[A, B], B] = C(常数)， 求证 [ ] A B [ ] [ ] A B B A B A B e e e e e , , 3 1 , 2 1 − − + = 。 【证明】令 [ ] [ ] [ ] 2 3 , , 3 1 , 2 1 ( ) A B a A B B a Aa Ba f a e e e e − − = 则 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] , , ) (1) ( , ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 e e e e a A B B e e e a A B e e Be e e e Ae e e da df a A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba + − + − + = − − − − − − − − 由于算符的不对易性质，在求导运算时，算符的位置不能随意交换。其中第一项中的 Aa Ba e Ae ，在算符 A 左边插入 = 1 Ba −Ba e Ae ，其中 Ba Aa e Ae − 部分，利用 1.3 题（2）式，并 注意到条件[ ] [ ] A, B , B = C, 得到 [ ] [ ] [ ] A B B a e Ae A a A B Ba Aa , , 2 , 2 = + + − 于是第一项为 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2) , , 2 , 2 3 , , 3 1 , 2 1 2 A B a A B B a Aa Ba e e A B B a e e A a A B − − ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 把上式与（1）中的第二项合并，得

e"e4+dl4.4.+Bx e邮。 =eeew。wa+da.+c+Blg eew ee (4+dd.B+C+B ee(+dd,aC+) =f(a)(A+alA.B]+a-C+B) (3) 至于(1)式中的第三、四项，利用条件【A,BB=C,得出为 fald4Bl-a2c2） 多 由(3)与(4)式，得 df(a)-f(a)A+B) (5) da 完成(5)式对a的积分，然后令=l,得到 ets =efele 【1.6】轨道角动量算符的定义为L=x×P,求证L,L,在坐标表象与动量表象的矩阵元分 别是 r内p-m ef品品 6P'-P)+ 景景r-m 号是+号--

8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] , (3) , , 2 , , , 2 , 2 2 , , 3 1 , 2 1 3 1 2 , 2 1 3 1 , 2 1 2 , 2 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 f a A a A B a C B e e e e A a A B a C B e e e A a A B a C B e e e C B a e e e e A a A B e e A B B B a e e A a A B A B a A B B a Aa Ba A B a Ca Aa Ba A B a Ca A B a A B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba = + + + = + + + = + + + ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − − − − − − − − − 至于（1）式中的第三、四项，利用条件[[A, B], B] = C ，得出为 ( [ ] ) 2 2 f (a) − a A, B − a C （4） 由（3）与（4）式，得 f a ( ) A B da df a = ( ) + ( ) （5） 完成（5）式对 a 的积分，然后令 a=1，得到 [ ] A B [ ] [ ] A B B A B A B e e e e e , , 3 1 , 2 1 − − + = 【1.6】轨道角动量算符的定义为 L = x × P ，求证 L Lz , 2 在坐标表象与动量表象的矩阵元分 别是 ( ') ( ') 2 ( ); ( ) ( ), 2 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' ' x x x y y x x z z x z y y x L x z x x y x x x L x i y P P p p P P p P p P P P p P p P L P P P P p P p P L P i P z x y x y y y x x y y y y y x y z y − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − δ δ δ δ δ h h h h h

【解】由L=x×P给出 L,=yP:-=P, Ly ==P:-xP: L:=xP,-yP 计算在动量表象中的矩阵元。其中矩阵元 (PP=P边-pP=Pp-P叫 利用基本关系式动p)=-hp以引p)=plp)得到 r=廊P品+廊e品9 a(品rp-品小 品吟 同理给出 Pk,=品-e品P-P 因而有 闪g7hr- 2 6(P-P) 然后在坐标表象计算知降元，利用基本关系+h品，动=给出电阵元

9 【解】由 L = x × P 给出 z y x y x z x z y L xP yP L zP xP L yP zP = − = − = − 计算在动量表象中的矩阵元。其中矩阵元 P Lz P P xˆPˆ y yˆPˆ x P P Pˆ y xˆ Pˆ x yˆ P ' ' ' = − = − 利用基本关系式 p P p p p p q p i i = i ∂ ∂ = − ˆ ˆ h , 得到 ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' P P p P p i P P p P P p i p P p P P p i P P p P i p P p P L P i p P x y y x x y x x x y y x x z y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = − h δ h h h h 同理给出 ( ) ( ) ' ' ' ' P P p P p P L P i P P P p P p P L P i P z x x y z y z z x y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = δ δ h h 因而有 P P 。 p p P P p P p P P P p P p P L P P x y x y y y x x y x x z y 2 ( ) ( ) ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − δ δ h h 然后在坐标表象计算矩阵元。利用基本关系 q q p q i ∂ ∂ ˆ ≈ + h ， x x x x i = i ˆ 给出矩阵元 是

(xx=x逆-x) =m到+1会 同理我们有 =是-：8}c-0 =8- -是是号--刘 【1】受理子承货的哈害餐京行务川一六+，分对在参基表家与动量发金给本 议程H〉=Ep〉的具体形式。 【解】把哈密顿算符投影到坐标表象，有 (xHw）=-(xEw） 其中 aw）=2）=h2国 ()--v Ox2 (xΨ(xw）=(xw(x) 得到坐标表象中的薛定谔方程 V((x)=Ev() 薛定谔方程在在动量表象的投影是 (plHw〉-(plEw〉 其中

10 ( ') ' ' ˆ ˆ ˆ ' ' ˆ x x y x x i y x x x i y x y i x x x L x x xP yP x z y x − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = − = − h δ h h 同理我们有 ' ( ') ' ( ') x x z y y x L x i z x x x z z x L x i x x y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = δ δ h h 而 ' ( ') 2 2 2 2 2 x x x y y x x z z x z y y x L x z − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = −h δ 【1.7】设量子系统的哈密顿算符为 ( ) 2 2 V x m p H − + ，分别在坐标表象与动量表象给出本征 议程 H ψ = Eψ 的具体形式。 【解】把哈密顿算符投影到坐标表象，有 x H ψ = x Eψ 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x V x V x x x x x P x x x i x x P i ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂ = h h h 得到坐标表象中的薛定谔方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V x x E x x x ψ ψ ψ + = ∂ ∂ − h 薛定谔方程在在动量表象的投影是 p H ψ = p Eψ 其中