145o 目 录 者为中泽本写的序言… 原序… 第一章引言…… 第二章对称性和量子数… 3 2.1对称性和原子的量子数…… 2.2对称性的等级关系… 第三章由正则矩阵构成的群… 1 3,1群的公设……… 7 3,2正则矩阵群……… 3.3一些特殊矩阵的性质… 10 3.4连续矩阵群… 0 3.5矩阵的指数函数… 14 第四章，李群的局部性质… 17 4,1群元素的参数化… 17 42连通性… 17 4.3李群的定义… 18 4.4无穷小群生成元… 19 4.5二维转动群S02)…… 4,6无穷小转动… 23 4.7一毅变换… 23 4.8李群的无穷小算子…… 25 049无穷小第子的一些实例… 04.10李群的构造常数“…。 30 4.11有限群元的生成…：033 、球
4,12有限变换44…37 第五章 李群和李代数……… e 5.】李代数 0 5,2基底的变换 4I 5.3同态和同物 42 5.4自同构和自同态 5:5李代数和子代数… 43 5.6 理想和真理想…。 5.7 李代数的伴随表示… 5.8实李代数的复扩充…… 好 5.9 单纯李代数和半单纯李代数…… 46 5.10基林形式和半单纯李代数的嘉当判别准则 4a11年带年年” 5.1实例：S0(4)… 48 5.12 实例：生4… 5.13 李代数的导出代数…… a 5.14 可解李代数 51 5.15 幂零李代数 52 5.16 直和与半直和 52 5.17 反对称张盘 53 5.18 卡塞米尔算子 54 5.19卡塞米尔算子的推广 55 5.20紧李代数和非紧李代数 55 5.21李群和李代数 56 第六章 根向最和典型李代数 58 6.1别言… 58 6.2 半单纯李代数的标准形式…… 6 6.3根的一些性质… 59 6.根的对称性质… 60 6,5求得标准形式… 6,6关于根的另一些定理 62 iw
6:7嘉当-外尔规范化 65 6.8根向量的图彩表示… 65 6.9 2获李代数…… 68 6.10秩2>2的李代数 70 6.11 例外李代数 72 第七章 单纯根和邓金图 74 7.1 单纯根… 74 7.2 实例：B和B, 76 7.3邓金图 77 7.4 嘉当矩阵 78 7.嘉当矩阵的一些例子… 73 7,6嘉当炬阵列举各根…… 81 7.7应用：G代数… 81 7,昌若干单纯李代数的构成… 85 第八章舍瓦累基底… 88 8.1互补权和舍瓦黑基底 88 8.2舍瓦累基底中的位相 89 8.3 (3)代数中的舍瓦累基底 91 第九章李群和李代数的表示… 93 9,1群的表示* 93 9.2实表示和复表示… 94 9,子逆步表示… 95 9,4伴随表示… 95 9.5西表示和非西表示…… 96 第十章权和既约表示的标记… 98 10,上权和权空间…… 10.2关于权的一些定理，00 10.3外尔反射群…… 101 10.4权和既约表示的分类 402 ,0.5计算权的完全集合…103
10.6计算权的一些实例 107 第十一章克罗内克乘积 110 11.1定义 110 1.2 表示的克罗内克乘积 11 11.3克罗内克乘积的权空间 … 111 11.4克罗内克乘积的约化 112 第十二章 表示，权，标记方法… 114 12.1基本表示 114 12.2·克罗内克乘幂 115 12.3初等表示·… 12.4初等表示的权 …119 12.5群B。和D的旋量表示 122 12.6既约表示的标记 .124 12.7记号问题，127 第十三章 例外群 129 13.1例外群的基本表示 129 13.2例外群表示的标记 131 第十四章既约表示的维数………… 135 】4【基本权的标积… 【35 重4.2既约表示的维数… 137 第十五章卡塞米尔不变算子……142 15.1二次卡塞米尔算子的本征值… 142 15,2广义卡塞米尔不变算子…： 143 15.3非半单纯李群的不变算子…… 144 15.450(3)和50(2,1)的卡塞米尔算子… 146 第十六章李群的一些整体性质…154 16.1拓扑邻域 :,44,44中4+，8◆得年044+44中4+400 154 16,2拓扑空间…… 155 16.3拓扑空间的例子 156 16.4同胚映射 157 。yiw
16.5拓卦空间的直积 157 16.6意斯道夫空间 a年，e+4a4,aa44a44ea451◆e4 158 16.7度量空间 159 16.8连通空间 160 16.9紧空间… 161 16.10同伦道路…162 16,11单连通和多连通空间… 164 16,12基本群… 165 16.13通用覆盖群4… 166 16.14拓扑群…167 16.15拓扑群的直积… 169 16.16拓扑群的同构…169 16,17拓扑子群… 170 16.18不变拓扑子群…… 170 16,19陪集空间及商群… 71 16.20齐性空间…173 16.21流形与李群 .173 16.22实单纯李群和李代数…… 174 16.23李群和李代数的同构 179 16.24通用报盖群 181 第十七章一些三参数李群的表示…184 17,1芝参数李群……184 17.2标准形式4…184 17.3卡鉴米尔算子…186 17.4初等表示….186 17.5旋量表示的基底…188 17.6用驶色子算子来实现表示….188 17.7其它表示的胸成”190 17.8酉表示… 194 17.9乙1：和生的矩阵元…，196
17.10有限变换4….198 17.1非紧生成元的对角化… 203 17.12 将合系数n 203 17.13特例50(3)… 207 17.14S0(2,1)的辆合系数… 209 17.15撰合系数和解折延拓 212 第十八章(1,1)型谱生成代数…216 8.】引宫… 2i6 1B.2m(1,1)的一个实现 216 18.3离散的本征值谱 218 18.4连续本征值谐 220 18.5三维各向同性谐振子 220 18.6推广的开普勒问题 221 18.7二维开普勒问题 223 18.8莫斯势 225 18.9(1,【)的局限性 226 第十九章维格纳一爱卡尔脱定理和张量算子…228 19.1引言… 228 19.2一些符号 229 19.3张量算子 230 19.4S0(3)的张登算子… 231 19.5半单纯李群的张蓝算子 231 19.6鹅合系数 232 19:7辆合构成的恒等表示 233 19.8维格纳爱卡尔脱定理… 236 19.9选释定则 238 19:10对50(3)的应用… 238 19.1广义重新将合系数… 240 19.12S0(3)的雪新辋合系数… 243 19.13504)的营新辆合系数…247 学ⅱ章
19,4拉卡因子分解引理…… 252 19.15同位标量因子… 254 19.16伴随张盘算子 255 19.17 耦合系数的对称性质 257 19.18互反性和同位标量因子 260 9.19相规约… 261 19.20 简单的同位标因子…… 262 19.21逐步计算原理4………… 263 19.22同位标最因子的另一种计算方法 274 19.23辋合张量算子… 277 19.2450(3)的辆合张毫算子…279 第二十章研究专题：各向同性谐振子…282 20.1 引言 282 20.2 二次量子化和谐振子 282 20.3 群U叹3)和5U(3)… 284 20.4.转动对称性 285 20.5U(3)的一些张量算子… 286 20.6 约化矩阵元 289 20.7 二次卡塞米尔第子 292 20,85U(3)中的阶梯算子… 293 20.95(3)的另外一些张量算千… 293 20.10交换关系… 295 20.11,谐振子的一个更大的群… 297 20.125p(6,R)的子群…298 20.13谐振子的另一个群… 300 20.14谐振子的动力学群…30】 20.15群约缩和动力学群… 303 20.15N维各向同性谐振子… 305 20.17子群50(2,1)×50(3)的张避算子… 305 20.18多极算子的矩阵元…307
第二十一章研究专题Ⅱ：氢原子 …313 21,1引言i4…313 21.250(4)和氢原子的能级……316 2引.多球面张量与50(4)318 21.4A的约化矩陛元…3引9 21.550(4)中的阶梯算子…… 320 21.6波色子算子和S0(4)…322 21.7氢原子的动力学群 324 21.8卡塞米尔算于 328 21.9子群50(4,1) 329 21.1050(4,2)的另-些子群… 329 21.1150(4,2)的基底和氢原子 33 21.12 50(4,2)的坐标实现… 336 21.1350(4,2)的物理实现 337 21.14氢原子的倾斜态 338 21.15用张算子实现50(2,1)×50(2,1) 340 21.16 电偶极子算子… 342 21:17 伽利略速度变换 347 21.18 洛仑兹速度变换 349 21.19无限分量的被动方程… 350 21.20例子：氢原子… 355 21.2150(1,2)的有限维实现…，358 21.22狄拉克电子理论的重新表述……362 21.23有自旋的氢原子… 363 21.24共形群和50(4,2)” 364 21.25结束语… 366 第二十二章研究专题Ⅱ：费米子和壳层结构…368 22.1引言n… 368 22.2费米子完层状态 369 22:3超群 370
22.4两个查婴的子群…372 22.5 一个酉子群 有年4格中年4特转中=。白4年年=014年卡04小年车0=作：行 374 22.6张整算子及型灭和产生算子… 375 22.7辆合张量算子 375 22.8另一些子群… 376 22.9方一7/2光层的分类… 3功2 22.10高位数 380 22.11准旋形式 3B0 22.12状态的准旋分类… 382 22.13厘灭算子和产生算子的准旋 384 22.14 算子的对称性分类… 38 22.15 有心力场中粒子的相互作用… 388 附录休尔函数和杨氏图形…… 395 A1引言… 395 A25函数… 395 A.3 S函数的外积 398 ,45函数的除法… 400 A.5 S函数的内积 401 A,6 作为S函数的群的特征标…… 402 A.7 S函数的部分数的缩减… … 402 8分技律… 403 A9连续群的克罗内克乘积 404 A10S函数的外相增 406 A115函数的内相增 408 A12用计算机来计算S函数的性质 410 参考文献4…411
第一章引 宫 在过去二十年中，理论物理的发展，出现了大量应用李代 数和李群的趋向，山内恭彦、外尔0、维格纳5,1、范特瓦 登m和拉卡等人较早地认识到，对称性变换在描述物理现象 中十分重要，从而促进了这一学科的发展。李代数和李群早 期的主要应用是原子的壳层结构，即，其后又应用于原子核的 壳层结构-，尤其是近年来，在基本粒子领域里有着广泛的 应用，。然而，它们的应用决不只局限于基础物理学。例 如，特殊函数的许多经典理论现在都用李群方法来处理-； 霍夫曼，“应用李群讨论了视觉问题；而诺努，2刘用李群描 述超弹性材料的储能函数 知道一点李群和李代数，对于当前的物理工作者来说是 有帮助的.这一点现在已经没有任何异议了.然而，由于它 们内容庞大，并且处理问题的方法又多种多样，使最初接触这 一课题的学生感到棘手。因此，讲解这一课题就必须在两种 作法中作出选择，或者以严格的数学观点到述它们，或者力图 阐述其主要概念、而把问题的严格性留给专门的数学家去考 虑。在本书中我们选用了后一种方式，即尽力给出一些主要 概念，并通过例子和习题来说明它们， 我们假定读者学过一般大学的量子力学课程，并对有限 群5，的基本性质也略知一二 李群理论有着这样的特点：它有若干种不同的表述方 法。对学生来说，每一种方法都有其优点，也有其峡点。休 尔所表述的方法，应用了不变矩阵的性质。列特尔乌德21、 。1
