能级之差 合，它是保险的。可惜在许多场合往往“套” En-E,=en-e.,与m无关。 不上，这时，如果平时沒有养成灵活分析的 综观以上各例，量纲分析法的关键是要 能力，就会宾正束手无策了。而且在有些场 把握住与问题有关的主要物瑰量和基本常 合，成套计算虽然把问题解决了，但往往是 数，（如果这方面有所遗漏，就会一错百 杀鸡用牛刀，如果多动脑筋，也许用初等方 错，导致尖败。)如果涉及的物理量较少， 法就能解决问题。更多的场合是，公式的构 而且不存在无量纲构造式，则量纲方法总能 造方式早已被量纲关系唯一地决定，大段大 得到成功。如果存在无量纲构造式，则一般 段的计算不过是为了求出一个无量纲的纯系 说来公式的构造力式就不能完全确定。但如 数。如果那个系数很重要，那当然非算清楚 能辅以共他判据、物理模型等，首先确定出 不可，如果系数并不重要，那时把大段计算 一、二个关健量在公式中的表现形式，从而 改为量纲分折，恐怕更好一些。作者并沒有 减少需要组合的物理因素，则量纲方法有时 轻视成套计算的意思，（编者按，本文作者 仍能获得成功。即使不能完全确定公式的构 长期从事量子力学课的致学工作。)只是觉 造，量纲分析至少能对公式的建立起指导作 得量钢方法有利于培养学生的分析思考能 用。 力，值得提倡，故写此文，以作呼吁。 在学习过程中，经常使用量纲方法，能 培养类比和联想的能力，这对于物理思考是 注释 极为重要的。不少人往往或到量纲方法过于 [81朗道等，《场论》，高教出叛社中承本，511一 灵活，有点“捉摸不定”，不如成套计算保 12.3667面 [】鸯看《伯克利物塑教程》第一卷《力学》，科学出 险。不错，在成套计算能够“套'得上的场 版社，S14.2。 二次量子化方法中产生算符和湮灭算符的两种形式 潮南师院需世曾 产生算符和湮灭算符是二次是子化方法中的基本算符，它们可通过对占有数表象中的基 矢或波面数的作用而定义。有些著速中往往把这两种形式的算符混淆，因而引起误解和混 乱。 下面以玻色子为例进行讨论。 (一)占有数表象中，对基失作用的产生算符a对与灭算符a: 对力学量b的占有数表象的基矢，定义产生算符；与酒灭算符a:为 aln1n2…n>=V√n+1ln1n2…n:+1…> an1n2…n,…>=V√gln1n2…ny-1…> 上式的物理意义非常明确。它们代表基矢间的变换关系。i态的产生算符作用到分布 为n,n2,n…的态上，得到一个i态粒子数为n!+1的新态。a作用的效果使1态上多了 个粒子，所以称a为i态的产生算符。 算符a及a:满足的对易关系为 [a,a]=8i, [a,a]≠[a:a打=0 由a:及a;进一步可定义单粒子i态上的占有数算符n:aa; 心
在占有数表象中，九，是对角化的。它的本征面数是nn2…n,…>,本征值是n,(i= 1.2.3…。 (二)占有数表象中，对波面数作用的产生算符A结与酒灭算符A: 基矢只是波面数的特例，更普遥地，应该用对占有数表象中任意波函数作用的算符表远 二次量子化方法。 对N个全同粒子体系，利用力学量b的占有数表系中基矢|”1n2…n,>的完全性。对 描述体系任意状态的矢量|>，可按此基失展开为 1>∑∑…∑…ln1n2…n…n,n2…4…|φ> =>|n1n2…n:…>中(n1n2…n1…) 年12一 式中，(n1n…n1…)= 称为力学量b的占有数表象中，|中>态的波函数。它是分立自变量几1，”2…的面数。这完在类 似于表象理论中把态在x表象中的波陌数(x)。这 里，把m121…|中>中的n,2…视为分立的自变量但为方便仍写为连续变量的形式 中(n1n2…n…)并称为波函数。 对占有数表象中波面数中(n1n2……)作用的产生算符A;及溼灭算符A,通过a及 a定义如下： 〈n:n2…mg…lal中>=Ag,hn2…n1…|a:l中>= =A1n2…n…|> 已知，a时对基矢作用=13.2.0> 12
此时，波函数为 中a.o(n1nng)==01.3620ma0 |中(m1n2n)川2表明：n1=3,n2=2,n,=0时几整为1，n:取其它值时，几率为希。 如以产生算符A等作用于中(nnng),得新波函数 中(n12n3)=A:p3.2.o(n1n2n3)=√ng中s.a.o(n,n2,g-1) =Vng302203-10 新波面数只当n1=3,n2=2,m1-1=0,即g=1时，才不为带。新态是在b1,b2,b态上分 别有三个，两个和一个粒子的状态，I>=3.2.1>。 由此可看出，产生算符A;的作用使波函数中自变量n戚少1成为n-1,恰是使第三 态上多了一个粒子。 (三)“量子力学原理”（布洛欣朵夫著）及“量子力学”（朗道及栗弗席芙著）中有 关二量子化的表逃 布洛欣朵夫的书是用波西数形式讨论二大量子化，书中定义算符a为：1.J aaf(N,N2,…,Na,…Nm…)=(Nm+1)f(N,N2,…,Nn+1,…Nm,) 并认为(1)“算符a,使某态中的粒子增加1”， （2)“包含a的项描写粒子的产生” 显然，这两个论新全是不正确的。 比书63年第四版1.1虽然把定义式中：与an互换，但后面的解释仍然是不对的。 9年版中译本1，对上逃两个错误中的第一个作了订正，把原文该段中“增加”与“减 少”互换。而63年版的中译本)则只对第二个错误作了订正，把原女该段中的“产生”与 “消失”互换。 朗道与栗弗席芙的书中对二次量子化的叙逃早期用基矢讨论是准确的【4」，朗道去世 后，73年由栗弗席茨与皮塔耶符斯基出了第三版。从77年英译本增订第三版4)看出，二 次量子化改用以波面数形式讨论，但也把两种形式的产生与酒灭算符混淆了。 二次量子化最好的总结提高的文献可参阅【)，该文把费米子与玻色子，连续谱与分立 谱一并讨论，很有特色。或参阅讲义仰。 参考文献 [b了1961年第三反P.402-P.405. c163年第四P48549 本严肃译80年人教版上册P.293 5J.DE.BOER.Construction Operater Formalis in Maay Particle Systems
碰撞时间的定量计算 苏州大学物理系 蔡振岩钱建清 在生产实践和日常生活中，碰撞是一种 常见的物理现象，在大学力学教材中讨论了 [P++R](1) = 把球作为质点的碰撞问题，但对碰撞时间的 计算都避而不谈，这是因为问题本身很复 式中K1=,K2=,E1和E2 杂，涉及的面较广。本文就小球正碰为例导 为球1和球2的杨氏模量，v1、2为它们的 出碰撞时间的计算公式。 泊松系数。P为两球间的接触压力。 将(1)式改写为 一、两球的完全弹性碰撞 p-na3/2 (2) 设两球的质量各为m1和m2,半径各为 iR,R. R1和R2,分别由不同的均质材料制成，其杨 式中n=3π(K1+Kz)R1+Rz 氏模量和泊松系数各为E1、v1和E2、v2。碰 两球对心正碰时，接触压力P使两球减 撞前的相对速度为v,设两球对心正碰。 速运动。此时两球的速度各为1和2,根据 如图1所示。碰撞分两个阶段进行：从碰撞 牛顿第二定律分别建立运动微分方程为 开始后两球心距由于局部变形而逐渐缩短， 相对速度逐渐减小到零，此时刻达到了最大 (3) 压缩状态，这个过程叫作压缩阶段。随后两 球逐渐恢复变形，两球相对速度逐渐增大， 而两球的相对速度应该和两球心距的缩 直至相对速度达到最大值,,此时刻两球分 短速度相等 离，这个过程叫作恢复阶段。在碰撞过程中 两球的接触压力P(也就是碰撞力)由零不断 v2==v2+v2 (4) 增加到最大值，而后又逐渐减小到零，显然 将上式两边对时间求导数得 它与两球心压缩距离α有关。由弹性力学中 dvy d2a dvs,dv2 关于两球间接触压力的讨论得[注1] d -P( U P U2 “ (5) 式中 m1·m2=u,为两球的折合质量。 m1+m2 将(2)式代人(5)式得 01 02 m2 m d2ana3/2 d (6) 图1 将上式两边各乘以后得 14
是[()门=-aa4a (7) ,对于完全弹性碰撞，则恢复阶段所需时 间应与压缩阶段所需时间相等，故整个碰撞 碰撞开始时其压缩距离为霁，相对速度 时间为 为"ro,当压缩阶段进行到某一压缩距离a 时，共相对速度为，=么。积分上式得 【=2=2.940 (”-小=-船 (13) (8) =2.94(0 由(13)式可以看到，碰撞时间与物体材 压缩终了时刻，相对速度为器，则由 料的机械性质（即杨氏模量和泊松系数）有 (8)式可算出两球的最大压缩距离为 关，还和物体的形状（球牛径）及质量有关， a=(胎) (9) 并与碰撞前相对速度(w,。)的三次方成反 将(8)式积分可得压缩阶段所需的时间 此。 当研究球对牛无限体（如平板）碰撞时， di=T da da (13)式同样适用，只要将R1=∞，m1=∞， 0n- Uy0。代入得 (10) (14) 合。”=，当碰撞开始时，=0，a=0, 4VR 故x=0,当到达压缩终了时刻t时，a=am:x, 式中m为球的质员，m=3太十)R为 x=1。 球的牛径，为球碰撞前速度。 积分(10)式，得 dx 二、两球非弹性碰撞 "0J,W1-x (11) 众所周知，完全弹性碰撞是不存在的。 设x5/2=,即=y2/5,当x=0时， 两球碰撞后，球体的接触部分或多或少会留 =0:x=1时，y=1,d=y3.则上 下压痕，而且系统的机械能不守恒。实验表 明，材料硬度高（即恢复系数k大），球体碰 式可改写为 后塑性变形小，碰撞时间较短。材料硬度低 (即恢复系数小)，碰后塑性变形大，碰撞时 间就较长。根据弹一塑变形理论，由于局部 ×宁1-0+4=品9（后，》 接触区的碰撞力所引起的应力超过了材料的 弹性极限而产生塑性变形，为了简化讨论， 之 我们把球体材料看作理想的弹塑材料，其应 =1.47m(12) 力应变关系如图2所示。开始阶段材料道 守虎克定律，应力和应变成线性关系。如图 式中B为B面数；「为「函数（由表 2中OA直线。当应力增加到A点时材料 开始屈服，将出现应变增加很快而应力则在 可查得r(号)=2.2185，r(份）=v元= 很小范围内波动的流动阶段，它表示在此阶 1.724,r(号+）=1.0687 段内材料暂时失去了抵抗变形的能力，材料 内部品格之间产生滑移。当材料处于流动阶 15
段某点B时，一旦卸载就线性地从B点到达 C点，CB线近似地平行于OA线，而OC =1.,(俘}(6，。+ 表示不再消失的塑性变形。从图2中看 (17) 到，OA线和CB线都避守虎克定律。我们 由(17)式可知，当完全弹性碰撞时， 知道两球正碰除开始时刻为点接触，以后整 k=1结果与(14)式相同。对于完至非弹性 个过程其接触面的周界为椭圆。显然在碰撞 碰撞，k=0,则t=∞，这意味着两球粘合 过程中该椭圆的长、短牛轴是由署变到最 大，而后再变到最小，由于塑性变形而留下 任一起永不分离。(17)式告诉我们，对于非 弹性碰撞，共碰撞时间不但与两球的质量、 一个小椭圆形的压痕。这是因为碰量开始时 牛径、碰前相对速度以及材料的杨氏模量、 接触点附近的材料，受到接触压应力较大， 泊松系数有关外，还与材料的恢复系数饣有 且意靠近压痕中心的材料，也愈早到达屈服 关。对于球与平板的非弹性碰撞，其碰撞时 极限，因而塑性变形大，而在压痕以外的 间为 材料，接触压应力均在弹性范围内，因而恢 复原状，而无塑性变形。对于压痕内中心 .[(](+）)a 点来讲吧，虽处于流动阶段的时间最长，但 4√反 以整个碰撞过程来讲，处于流动阶段的时间 式中m为球的质量，=3π+， 可忽略不计，因为在高应力下晶体的滑移速 R为球牛径，为恢复系数，为球碰撞 度接近于声速。因此非弹性碰撞仍可以近似 前速度。 看作由压缩和恢复两个阶段组成，只是不能 恢复到原来形状而有塑性变形罢了。 三、实验值与理论值的比较 实践是检鉴其理的唯一标准。我们所得 到的公式是否正确还需用实验米检验，K, B.布罗贝格所著《弹性及弹一塑性介质中的 冲击波》一书中，叙逮了关于弹性球撞击弹 性牛无限体的实验。其实验条件为一钢球从 一定高度下落冲击钢板，高度=264mm, 材料的泊松系数均为=0.25，恢复系数 k仁0,92，分别柔用直径为品、6、立时的 图2 三种钢球。其实验结果见表（一）。 压缩阶段相对速度从"。减小到蓉，共 取钢球此重为7.8×103千克/米，杨氏 所需时间为1，显然与(12)式相同为 模量E=2.10×10牛顿/米，由于钢板和 (15) 钢球是同一材料，因此，(18)式中的马可简 化为 恢复阶段速度从0变到，=知，o,无为 2EVR 恢复系数，因此恢复阶段所需时间为 =1.(得) (，。)i(16) 将R、”以及E,",=√2gi、m朵用国 际单位制后代入(18)式中，其计算结果见表 整个碰撞时间为 (二) 16
表(-) 论计算值小于实验值，这是因为我们忽略了 流动阶段所经历的时间。同时由表（二）中看 球直径 碰拉时间 到在不变的条件下，随着球牛径增大，实 7.2微秒 验值与理论值之间的绝对误差也随着增大， 的 这是因为牛径大即质量大，因而碰撞力所引 4.8撒秒 起的接触压应力也相应增大，造成流动阶段 2时 2.4微秒 的时间稍长些，故引起绝对误差随球牛径增 大而增大。 表（二） 参考资料 1.19×10-32.2065.0×10-65.15×107.150.03 〔1】弹性及弹性一塑性介质中的冲击技[瑞典]K,B。 0.794×1032.2016.3×1064.21×1094.760.02 布罗贝格著，尹弹跑译，科学出板杜。 21 0.397×10-12.202.04×1062.98×1092.880.01 C3] 华大学出版社。 由此可见，理论计算值与实验值之间误 【4】Teopa yapyroct,M,M.o0-6op 差很小，均在0.5%范围以内；而且总是理 用量纲分析法推导德布洛意关系式 百安地质学骸·刘顺生 在量子力学教学中，讨论德布洛意关系式=E/h和=/P,一般都是用类此的方法作 定性的讨论，然后直接给出上途关系式的。我们在数学实践中威到，如果能够用某种方法把 它推导出来，在逻辑上就更能合人信服。经过尝试后，发现使用量纲分析方法是可以做到 的。这里将致学中所使用的方法叙述如下。 德布洛意在光的波动一粒子二重性的启示下，根据经典粒子力学同几何光学在用变分法 这一数学工具来表述时，有 8ndl=0或8S=0, (1) (1)式表明粒子从A到B所走的实际轨道的作用量积分S=∫广d,比起相邻的其它轨道，取 极值。故称(1)式为最小作用量原理（或莫培督原理）。 6fndt=0 (2) (2)式表明，光线从A点到B点实际所走路径，此起共它可能路径说来，光程nd取极值。 放称(2)式为最小光程原理（或费马原理).用波长入除(2)式两边后，改写为 以=0或p=, (3) 17
