第四章角动量理论
第四章 角动量理论
§4.1角动量算符的一般性质
§4.1 角动量算符的一般性质
角动量算符满足如下的对易关系 [,]=访，[，=hi,[,]= 我们定义总角动量算符 2三梁+记+2. 同时，我们还可以定义升和降算符为 J=Jr+ijy:1=Jr-iju
角动量算符满足如下的对易关系 我们定义总角动量算符 同时，我们还可以定义升和降算符为
不难验证，他们满足如下的对易关系 [J,J±]=±J生 JJ-JJ.=2hJ, J±J年=J2-J±h JJ+JJ+=2(J2-J2) 例如，我们有 [,j4]=[i,j+动=[i,+i[, =流jg+(-ihj)=h.jg+ijn=五j+. 以及 [,刘=，=[，刘=0
不难验证，他们满足如下的对易关系 以及 例如，我们有 2 2 , z z z J J J J J J J J = = − 2 2 2 2( ) z z J J J J J J J J J J J + − − + + − − + − = + = −
例如： [2,刘=[2++，]=[+，] 201+14,=5八1，+号1， 八，1+1，月+0,1+2，可 1+2,1+i1-机 0. 又由于在总角动量算符卫中，j2与方和是对称的，故 [户，=，=0 也必成立
例如：
由于卫和j是对易的，它们具有共同的本征态和本征值。即我们可以找 到{入，m)},使得 1入，m)=λh1入，m以，j入，m)=mh入，m) 同时成立。 为了得到本征值入和m的可能取值范围，我们首先考虑恒等式[户，j4]=0 的矩阵元 ,m'[,j4]入，m）=(X,m1pj-j4P入，m)=0
按照定义，我们有 (X,m12j4-j421入，m)=(X-)h(X,m'j+入，m). 因此，当'≠入时，我们有 (X,mJ+入，m〉=0. 也就是说 (,mJ+入，m)=xx(A,mJ+,m》 成立。 把J换成Jx、J会是什么结果？
x y z , , J J J 把 +换成 、 -会是什么结果？
又由于 ,mhj4入，m)=(,ml[i,4]入，m〉 =(,mjj-j4j入，m)=(m'-m)(入，m1j|λ，m, 我们得到 (m'-m-1)(入，m1j入，m)=0. 因此，当m≠m+1时，等式 (,m1j4入，m)=0 成立。故我们有 (入，m'1j+Am）=dm,m+1A,m+1j4入，m）
同理，利用对易关系[，]=-，我们可得 (入，m1j_|Am)=6m,m-1(入，m-1j-|入，m. 为了求得（公，m+1j入，m)和（公，m-1j入，m)的非零值，我们可以利用恒 等式 2山41+14)=2+乃-户-2
由此，我们得到 12 入，m方+j+方_方+入，m》 2 ∑∑，m4X,m)(X,m1IA,m 2 ∑∑入，m)|X,m,m1j+,m) (A.mlj:1A.m-1)4.m-1-.m) 2入，m入，m+1)以，m+1+入，m) 入方2-m2h2=(入-m2)2
