第三章路径积分
第三章 路径积分 ２００9年１0-11月
§3.0 引 言
§3.0 引 言
最小作用原理与Lagrange?方程 设体系的Lagrange函数为L(g1,qn,q1,qn,t),简记L(g,4,t), 若体系为保守势，则L=T-V. 设体系在时刻t'从A出发，经轨道q(t),在时刻'到达B, 定义作用量：Sq(c=L(q,q)d 最小作用原理：粒子实际所走轨道应使S取极小值， 设q(t)做无穷小变化，且δq(t)=6q(t")=0, 则要求，6S=0
最小作用原理与Lagrange方程• • • 1 1 '' ' Lagrange ( , , , , , , ), ( , , ), . ' ( ), '' [ ( )] ( , ) ( ) ( ') ( '') 0, 0 n n t t L q q q q t L q q t L T V t A q t t B S q t L q q dt S q t q t q t S • = − = = = = 设体系的 函数为 简记 若体系为保守势，则 设体系在时刻 从 出发，经轨道 在时刻 到达 ， 定义作用量： 最小作用原理：粒子实际所走轨道应使 取极小值， 设 做无穷小变化，且 则要求
s=广2+i 3qi -4(56,+21L6,1 2 on 2n. 0q4 =Σriaa 12-4L8g,=0 6q,是任意的 L-正()=0，(Lagrange方程） aq:dt aqi
'' ' '' '' ' ' i '' ' i [ ] [ ( )] [ ] [ ( )] 0 ( ) 0 Lagrange t i i t i i i t t i i t t i i i i t i t i i i i i L L S dt q q q q L d L L dt q q q dt q q L d L dt q q dt q q L d L q dt q • • • • • • = + = − + = − = − = 分布积分 是任意的， ， （ 方程）
路径积分方法的由来 ●Feynman于1940年代提出 忄原始思想←狄拉克1933年一篇文章 十费曼加以发展 ○理论核心：传播子(propagator) ÷包含了量子体系的全部物理信息 ?与经典力学中的作用量相联系
路径积分方法的由来 ●Feynman于1940年代提出 ●理论核心：传播子 (propagator) † 包含了量子体系的全部物理信息 † 与经典力学中的作用量相联系 † 原始思想←狄拉克1933年一篇文章 † 费曼加以发展
路径积分方法的由来 ●量子力学三种形式与经典力学的关系 十矩阵力学一—泊松括号→对易子 t被动力学H方程→薛定谔方程 。均与经典力学的哈密顿形式密切相关 ÷路径积分一源于经典力学的拉格朗日形式 ”便于推广到相对论形式 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 ”便于考察量子力学与经典力学之关系
路径积分方法的由来 ●量子力学三种形式与经典力学的关系 † 矩阵力学—泊松括号→对易子 † 波动力学—H-J方程→薛定谔方程 ♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 ♥ 便于考察量子力学与经典力学之关系
正则量子化 所谓正则量子化，就是从经典的分析力学出发，加上量子条件使经典体系 过渡到量子体系的一种方法。 在经典力学中，设系统的正则坐标为4；正则动量p,(仁1,2，“，m)。 Hami Iton量为 H(qip;t)=Hqo…,qmp…,Pn)t) 正则运动方程为 Opi =器-12m 任意两力学量w,y,Possion括号为 (u)品品 api∂qi
正则量子化 所谓正则量子化, 就是从经典的分析力学出发, 加上量子条件使经典体系 过渡到量子体系的一种方法。 在经典力学中,设系统的正则坐标为qi；正则动量pi (i=1,2,…,n)。 Hamilton量为 正则运动方程为 𝑞ሶ 𝑖 = 𝜕𝐻 𝜕𝑝𝑖 ， 𝑝ሶ 𝑖 = 𝜕𝐻 𝜕𝑞𝑖 (i=1,2,…,n) 任意两力学量 u,v, Possion括号为 ( u, v ) =σ𝑖 𝑛 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑣 𝜕𝑝𝑖 − 𝜕𝑢 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑣 𝜕𝑞𝑖 ) H(qi ;pi ;t)= H(qi ,…,qn ; pi ,…,pn ; t)
正则量子化 由此可导出正则变量的Poi sson?括号为 (9i,4)=0;(P1,p)=0;(91,p)=δU 一般力学量A的运动方程为：A=(A,H) 这一套理论完全可以平行地移到量子力学中去。 在量子力学中，正则变量q,p,以及由它们所构成的力学量H,A,u,等 均是算符，所以，经典Poi ssor括号要用算符的对易关系的代替。它们的关系 为(4，以一[⑦，]当然这种对应仅适用于有经典对应的力学量算符。 于是，正则变量的对易关系为 [qi,qil=0,p,i]=0,[qi,pi]=ihoii 称为量子条件，它是量子力学最基本的对易关系。 一般力学量A的运动方程为：盟=片[A,列 对力学系统的正则变量加上量子条件，就使经典力学过渡到量子力学。这 种过渡称为正则量子化
正则量子化 由此可导出正则变量的Poisson括号为 (qi，qj )= 0 ; (pi，pj )= 0 ; (qi，pj )= 𝛿𝑖𝑗 一般力学量A的运动方程为： 𝐴ሶ = (𝐴, 𝐻) 这一套理论完全可以平行地移到量子力学中去。 在量子力学中,正则变量 qi，pi以及由它们所构成的力学量H、A、u、v等 均是算符,所以,经典Poisson括号要用算符的对易关系的代替。它们的关系 为 (u, v)→ 1 𝑖ħ 𝑢 ො , 𝑣 ො 当然这种对应仅适用于有经典对应的力学量算符。 于是,正则变量的对易关系为 [𝑞 ො 𝑖 , 𝑞 ො 𝑗 ] = 0 ,[𝑝 Ƹ 𝑖 , 𝑝 Ƹ 𝑗 ] = 0 ,[𝑞 ො 𝑖 , 𝑝 Ƹ 𝑗 ] = 𝑖ħ𝛿𝑖𝑗 称为量子条件,它是量子力学最基本的对易关系。 一般力学量A的运动方程为： 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 1 𝑖ħ 𝐴 መ , 𝐻 对力学系统的正则变量加上量子条件,就使经典力学过渡到量子力学。这 种过渡称为正则量子化
§3.1传播子
§3.1 传播子
薛定谔波动力学中的传播子 ○从薛定谔方程出发 i流日Ψ（国>=1平(0> 体系在t时垓刻的状态|w(t")>可由t'时刻的状态|w(t)>给出 (t"-t) →|w(t")>=eh v(t)> 在坐标表象中→w(r",t")= -dx传播子
薛定谔波动力学中的传播子 ●从薛定谔方程出发 ˆ i t H t | ( ) | ( ) t = '' ˆ ( " ') | ( ") | ( ) | ( ") | ( ') i H t t t t t t t e t − − → = h 体系在 时刻的状态 可由 时刻的状态 给出 在坐标表象中 → = ( ", ") " | ( ") r t r t ˆ ( " ') ( " ", ' ') " | | ' i H t t K r t r t r e r − − = → 传播子 ˆ ( " ') = " | | ( ') i H t t r e t − − ˆ ( " ') 3 3 = " | | ' ' | ( ') ' ( " ", ' ') ( ', ') i H t t d x r e r r t d x K r t r t r t − − = 3 ( ", ") ' ( " ", ' ') ( ', ') r t d x K r t r t r t ==