第六章不定积分 61不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性,以及导数于微分,特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算,它的被运算对象是函数。在以前我们也学过 多的运算。例如,加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。(用旧的概念和新的概念相类比,从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律,这是一种数学方法。)我们看看这些旧的运算,我们很快会发现 它们都成对出现,而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到,求导运算是否有逆运算,它 的逆运算是什么? 问题1:求导运算的逆运算是什么?讨论其逆运算的意义何在? 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算,在实际应用中 是很有用的。例如(1)已知物体的运动规律s=s(t),即路程函数,求物体的瞬时速度v(t) (2)已知曲线y=y(t),求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题,已知物体运动的 瞬时速度,即速度函数v(t),求物体的运动规律,即路程函数;已知曲线在每一点的切线的 斜率,求此曲线。在解析几何中,对于直线的讨论,由于直线的点的斜率相同,所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的,那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义:函数∫(x)在区间I上有定义,如果存在函数F(x),使 F(x)=f(x)x∈I 称F(x)是函数f(x)(在区间上)的原函数。 例如: an2)=at(a是 const),所以a2是at的原函数 (snx)=cosx,所以snx是cosx的原函数 (2x2y=x2,所以2x2是x2的原函数1 第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很 多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现 它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它 的逆运算是什么？ 问题 1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中 是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律 s = s(t) ，即路程函数，求物体的瞬时速度 v(t) ； （2）已知曲线 y = y(t) ，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的 瞬时速度，即速度函数 v(t) ，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的 斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义：函数 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在函数 F(x) ，使 F (x) = f (x), x  I ' 称 F(x) 是函数 f (x) （在区间 I 上）的原函数。 例如： at = at 2 ' ) 2 1 ( （ a 是 const），所以 2 2 1 at 是 at 的原函数。 (sin x) cos x ' = ，所以 sin x 是 cos x 的原函数。 2 1 2 1 (2 )' − x = x ，所以 2 1 2x 是 2 1 − x 的原函数