(x3+2)=x2,所以x3+2是x2的原函数。 问题2:函数f(x)的原函数是否存在,即什么样的函数有原函数。如果存在,其原函 数是否唯 对于问题前半截的回答,只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的 显然由F(x)是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),则 (F(x)+c)=f(x), (C const) 即F(x)+c也是∫(x)的原函数。由此我们看到,如果一个函数存在原函数,那么这个 函数就有无限多个原函数 问题3:函数f(x)的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为F(x),是否每一个 原函数都可表示为形式F(x)+c?换句话说,除了F(x)+c形式之外,是否还有其它形式 的函数,也是f(x)的原函数? 定理:如果F(x)是函数f(x)的原函数,则函数f(x)的无限多个原函数仅限于 F(x)+c(c是 const)的形式。 证明:已知F(x)是f(x)的原函数,即 F(x=f(x) (1) 设p(x)是函数f(x)的另一个原函数,即 (x)=f(x) (2) (1)与(2)相减,有 y(x)-F(x)=[(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 由第6.1节,例1,(x)-F(x)=c(c是某个常数)或(x)=F(x)+c,亦即函数f(x) 的任意一个原函数p(x)都是F(x)+c的形式 这就给出了函数∫(x)的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差 个常数。如果求出了一个原函数,其它所有的原函数也相应的被求出来了 另一方面,定理说明:已知一条原函数曲线,其它的原函数曲线可以用平移的方法得2 3 2 2)' 3 1 ( x + = x ，所以 2 3 1 3 x + 是 2 x 的原函数。 问题 2：函数 f (x) 的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函 数是否唯一？ 对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。 显然由 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x ，则 (F(x) + c)'= f (x) ， （ c 是 const） 即 F(x) + c 也是 f (x) 的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个 函数就有无限多个原函数。 问题 3：函数 f (x) 的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为 F(x) ，是否每一个 原函数都可表示为形式 F(x) + c ？换句话说，除了 F(x) + c 形式之外，是否还有其它形式 的函数，也是 f (x) 的原函数？ 定理：如果 F(x) 是函数 f (x) 的原函数，则函数 f (x) 的无限多个原函数仅限于 F(x) + c （ c 是 const）的形式。 证明：已知 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x （1） 设 (x) 是函数 f (x) 的另一个原函数，即 '(x) = f (x) （2） （1） 与（2）相减，有 '(x) − F'(x) = [(x) − F(x)]'= f (x) − f (x) = 0 由第 6.1 节，例 1，(x) − F(x) = c （c 是某个常数）或 (x) = F(x) + c ，亦即函数 f (x) 的任意一个原函数 (x) 都是 F(x) + c 的形式。 这就给出了函数 f (x) 的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一 个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。 另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得