《线性代数》第三章习愿解答咨 ()证明：若a,凸2，，心，线性相关，即存在不全为零的常数k1,人2，，人·使 和为 0) k%+k2++k,a,=0.从面有： [2-a 2 4[k+k3+…+k,a]=k4+k242+…+k,4拉=0.，k,k2,…,k不全 (3)设a为实数，如果齐次线性方程组 X=0有非零解，则a=(1或 2-a 为零，4虹，红2，，缸，线性相关。 (2)红，，，A血，不一定线性无关。如当A=E,则血，42，，线性无关，若 3) A=0,则，A,,AC,线性相关。 (4)设A为n阶方阵，如果方程组AX=b有唯一解，则A一定(b,d) 16.试证：设A是n阶方阵(n≥2)，则 a.奇异b,非奇异 c.a,b都有可能d满秩 n,R(A)=n, 19.求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解。 )=1, R(40=n-1, ()+5x-x3-x4=0, 0,R(A)<n-. -2x3+53+3x=0 证：0若Am,则4≠0，由fA=4E,得到r=4。 3x+82-+x=0, x1-9x2+3x1+7x4=0, r=40,f)=n- 解：对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 (间如果R(An-1,则A的列向量组a,凸，，a,线性相关，其中必有一列向量是 「15-1 -17 15-1-17 组中其余向量的线性组合，不妨设： 1-213-50-724 A= 4=k,凸+k必+…+k么据行列式的性质可知，A的第2列至第n列元素的代数余 38-115-3 0-724 子式全为0，R(A)=m1,:,A的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到 1-937-0-1448 的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，.()=1. 「15-1-1] 「1是01] (i而若AKn-,则A的m-1阶子式全为零，“A=0,R()=0. 5-5 0-子12 0-子12 (17)设有线性方程组： 5-25 00005+g0000 a+x+o=d, 若口 ≠0，问： 哲0000」 0000 a+2+c,=d2 同解方程组： =-3-4 (1)系数矩阵A秩是多少？ 3=子2-2x (2)增广矩阵A的秩是多少 -] -1 (3)方程组是否有解，有多少解？ (4方程组的导出组是否有基础解系？基磁解系中含有多少个解向量？ 得基础解系 方程组的通解！ 解：()RA=2.(2)R(4)=2.(3)方程组有解，有无穷多解. (4)方程组的 0 1 导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 X=k及+k及，其中k,k为任意实数 18.选择和填空 (1)设A是n阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组A4X=0, (2)-3+2x3+x4=0, (c) 2-x2+3+2x4=0 a,只有零解b有n个解c.有无穷多解d.无解 x-x3+x4=0, (2)设A,B均为n阶方阵，且A=1,则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之 3-+3x=0,《线性代数》第三章习题解答 -5- (1) 证明：若 1 2 , , ,   r 线性相关，即存在不全为零的常数 1 2 , , , r k k k ，使 1 1 2 2 0. r r k k k    + + + = 从而有：  1 1 2 2 1 1 2 2  0. A k k k k A k A k A       + + + = + + + = r r r r 1 2 , , , r k k k 不 全 为零， 1 2 , , , A A A   r 线性相关。 (2) 1 2 , , , A A A   r 不一定线性无关。如当 A=E，则 1 2 , , , A A A   r 线性无关，若 A=0，则 1 2 , , , A A A   r 线性相关。 16. 试证： 设 A 是 n 阶方阵 ( 2) n  ，则 , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1, 0 , ( ) 1. n R A n R A R A n R A n   =  = = −     − 证： (i) 若 R(A)=n，则 A  0 ，由 A A A E  = ，得到 n A A A  = ， 1 0 n A A  − =  ， R A n ( )  = . (ii) 如果 R(A)=n-1，则 A 的列向量组 1 2 , , ,   n 线性相关，其中必有一列向量是 组中其余向量的线性组合，不妨设： 1 2 2 3 3 . n n     = + + + k k k 据行列式的性质可知，A 的第 2 列至第 n 列元素的代数余 子式全为 0，R(A) =n-1，∴A 的第 1 列元素的代数余子式中至少有一个不为 0.由此得到 A  的第 1 行元素不全为零，而第 2 行至第 n 行元素全为 0， R A( ) 1.   = (iii) 若 R(A)<n-1，则 A 的 n-1 阶子式全为零， A 0   = ， R A( ) 0.  = (17) 设有线性方程组： 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 , , a x b x c x d a x b x c x d + + = + + = 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，问： (1) 系数矩阵 A 秩是多少？ (2) 增广矩阵 A 的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？ (4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？ 解： (1) R(A)=2. (2) R A( ) 2. = (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的 导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空 (1) 设 A 是 n 阶方阵，方程组 AX=0 有无穷多解，则方程组 0 T AA X = . (c) a . 只有零解 b .有 n 个解 c .有无穷多解 d .无解 (2) 设 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB =1 ，则方程组 AX=0 与 BX=0 的非零解的个数之 和为 (0) (3) 设 a 为实数，如果齐次线性方程组 2 2 1 0 2 2 a X a   −   =   −   有非零解，则 a = (1 或 3) (4) 设 A 为 n 阶方阵，如果方程组 AX=b 有唯一解，则 A 一定(b，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a，b 都有可能 d .满秩 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解. (1) x x x x 1 2 3 4 + − − = 5 0 , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 0 , 3 8 0 , 9 3 7 0 , x x x x x x x x x x x x − + + = + − + = − + + = 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 2 1 3 1 4 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 3 3 8 1 1 0 7 2 4 1 9 3 7 0 14 4 8 r r A r r r r     − − − − −     − − = −         − −     −     − − 3 2 3 2 7 7 2 2 4 2 1 2 1 2 2 1 5 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r   − −   −     − − − +                 故 同解方程组： 3 1 2 4 2 x x x = − − 7 3 2 4 2 x x x = − 2 依次取 2 4 1 0 , , 0 1 x x       =             得基础解系 3 2 1 2 7 2 1 1 0 , 2 0 1     −   −     = =         −         . 方程组的通解： X k k = + 1 1 2 2   ，其中 1 2 k k, 为任意实数. (2) x x x x 1 2 3 4 − + + = 2 0 , 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 2 2 0 , 0 , 3 3 0 , x x x x x x x x x x − + + = − + = − + =