∑x dhL -n=0,0=∑X,=了为9的最大似然估计量 d08 n台 (3)令6=X,0,=B2,6,= E日=E下=EX=0,E日，=ESg=DX0,故日，=X及日=2都是0的无偏估计， EA,=EB=n-lES:-”-l0,故A,不是9的无偏估计 n n 例3总体X~U(0,20),其中0>0是未知参数，又X,X2,Xn为取自该总体 的样本，了为样本均值。证明：日-号又是参数0的无偏估计。 证明：X~U0.20,则60=0+20_9，于是 2 2 6a-号x-号9-0 故6=？不是参数0的无偏估计. 例4.设0是参数0的无偏估计量，D(©>0，证明：2不是02的无偏估计量 证明：因为0是参数0的无偏估计量，所以E(©=0， D(0)=E(02)-(E0)2=E(02)-02>0,即E(02)>02, 故2不是02的无偏估计量. 例5.从均值为4，方差为o2的正态总体中分别抽取容量为n和n2的两组独立 样本，X,X2分别为两组样本的样本均值.试证：对任何常数a,ba+b=1), Y=aX,+bX2都是4的无偏估计，并确定a,b的值使Y=a,+bX2在此形式的估 计量中最有效. 解：因为EY=aEX,+bEr2=aEX+bEX=(a+b)EX=EX=4 所以，对任何常数a,b(a+b=1),Y=aX,+bx2都是4的无偏估计. Dr=aD成+brD成，-gnr+nr=g+)nr n n2 n n2 d d ln L = 0 1 − = = n x n i i  , ˆ = X X n n i  i = =1 1 为  的最大似然估计量. (3) 令 1 ˆ  = X , 2 ˆ  = B2 , 3 ˆ  =S 2 E 1 ˆ  =E X =E X= , E 3 ˆ  =ES 2=D X= , 故 1 ˆ  = X 及 3 ˆ  =S 2 都是  的无偏估计， E 2 ˆ  =EB2= 1 2 ES n n − =  n n −1 , 故 2 ˆ  不是  的无偏估计. 例3总体 X ～U (,2 ) , 其中   0 是未知参数, 又 X X Xn , , , 1 2  为取自该总体 的样本, X 为样本均值. 证明: X 3 2 ˆ  = 是参数  的无偏估计. 证明: X ～U (,2 ) ,则 2 3 2 2 ( )    = + E X = ,于是    = = =  = 2 3 3 2 3 2 3 2 E ˆ EX EX , 故 X 3 2 ˆ  = 是参数  的无偏估计. 例 4.设  ˆ 是参数  的无偏估计量, ) 0 ˆ D(  , 证明: 2 ˆ  不是 2  的无偏估计量. 证明：因为  ˆ 是参数  的无偏估计量,所以  ) =  ˆ E( ， ) = ˆ D( − = 2 2 ) ˆ ) ( ˆ E( E ) 0 ˆ ( 2 2 E  −  , 即 2 2 ) ˆ E(   , 故 2 ˆ  不是 2  的无偏估计量. 例 5.从均值为  ,方差为 2  的正态总体中分别抽取容量为 1 n 和 2 n 的两组独立 样本, 1 2 X , X 分别为两组样本的样本均值. 试证: 对任何常数 a,b(a + b = 1) , Y = aX1 +bX2 都是  的无偏估计, 并确定 a,b 的值使 Y = aX1 +bX2 在此形式的估 计量中最有效. 解：因为 ( ) . EY = aEX1 + bEX2 = aEX + bEX = a + b EX = EX =  所以，对任何常数 a,b(a + b = 1) , Y = aX1 +bX2 都是  的无偏估计. DX n b n a DX n b DX n a DY a DX b DX ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 = + = + = +