4-8章习题解答 第4章振动 P174 π1-n/3=±2/3 4.1一物体沿x轴做简谐振动,振幅由于物体向x轴负方向运动,即v<0,所以 A=012m,周期T=2s.当t=0时,物体sin(x-m/3)>0,因此 的位移x=0.06m,且向x轴正向运动.求: π1-/3=2/3 (1)此简谐振动的表达式; 得n (2)t=m14时物体的位置、速度和加 当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡 速度 位置时,x=0,v>0,因此 (3)物体从x=-006m,向x轴负方向 cos(π2-x/3)=0, 运动第一次回到平衡位置所需的时间 可得x12-x/3=-x2或3m/2等 [解答](1)设物体的简谐振动方程为由于>0,所以 x= Acos(ot +o), 12-/3=3/2, 其中A=0.12m,角频率=2π/T=π 可得2=116=1.83(s) 当t=0时,x=0.06m,所以 所需要的时间为 COSp=0.5 △t=12-1=0.83(s) 因此 方法二:反向运动.物体从x=-0.06m, 向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所 物体的速度为 的时间就是它从x=006m,即从起点向x v=dx/dt=-0Asin(ot +o) 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的 当t=0时, 时间.在平衡位置时,x=0,<0,因此 v=-@.Asin, cos(t-/3)=0 由于v>0,所以sing<0,因此 可得xt-x/3=/2, 9=-/3 解得t=5/6=0.83(s) 简谐振动的表达式为 注意根据振动方程 x=0.12cos(πt-兀/3) x= Acos(@t +o). (2)当t=T4时物体的位置为 当t=0时,可得 x=0.12cos(x2-π/3) g=± arccos(xo/4),(-兀<吾π) =0.12cos/6=0.104(m) 初位相的取值由速度决定 速度为 由于 v=dx/dt=-@Asin(ot+o) -0.12rsin/6=0.l88(ms4) 当t=0时, 加速度为 V=-oAsino a=dv/dr=-@aCos(@t +o) 当v>0时,sing<0,因此 元2Acos(-/3) os(xo/A): 0,因此 (3)方法一:求时间差 o= arccos(xo/A) 时,可得 可见:当速度大于零时,初位相取负值 cos(πt-n/3)=-0.5, 当速度小于零时,初位相取正值.如果速度 因此 等于零,当初位置x0=A时,p=0;当初位4-8 章习题解答 第 4 章 振动 P174． 4．1 一物体沿 x 轴做简谐振动，振幅 A = 0.12m，周期 T = 2s．当 t = 0 时，物体 的位移 x = 0.06m，且向 x 轴正向运动．求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t = T/4 时物体的位置、速度和加 速度； （3）物体从 x = -0.06m，向 x 轴负方向 运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为 x = Acos(ωt + φ)， 其中 A = 0.12m，角频率 ω = 2π/T = π． 当 t = 0 时，x = 0.06m，所以 cosφ = 0.5， 因此 φ = ±π/3． 物体的速度为 v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)． 当 t = 0 时， v = -ωAsinφ， 由于 v > 0，所以 sinφ < 0，因此 φ = -π/3． 简谐振动的表达式为 x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当 t = T/4 时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为 v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1 )． 加速度为 a = dv/dt = -ω 2Acos(ωt + φ) = -π 2Acos(πt - π/3) = -0.12π2 cosπ/6 = -1.03(m·s-2 )． （3）方法一：求时间差．当 x = -0.06m 时，可得 cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此 πt1 - π/3 = ±2π/3． 由于物体向 x 轴负方向运动，即 v < 0，所以 sin(πt1 - π/3) > 0，因此 πt1 - π/3 = 2π/3， 得 t1 = 1s． 当物体从 x = -0.06m 处第一次回到平衡 位置时，x = 0，v > 0，因此 cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2 或 3π/2 等． 由于 t2 > 0，所以 πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)． 所需要的时间为 Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从 x = -0.06m， 向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需 的时间就是它从 x = 0.06m，即从起点向 x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的 时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此 cos(πt - π/3) = 0， 可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)． [注意]根据振动方程 x = Acos(ωt + φ)， 当 t = 0 时，可得 φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π）， 初位相的取值由速度决定． 由于 v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)， 当 t = 0 时， v = -ωAsinφ， 当 v > 0 时，sinφ < 0，因此 φ = -arccos(x0/A)； 当 v < 0 时，sinφ > 0，因此 φ = arccos(x0/A)． 可见：当速度大于零时，初位相取负值； 当速度小于零时，初位相取正值．如果速度 等于零，当初位置 x0 = A 时，φ = 0；当初位