置x0=-A时,g=兀 td=t+T/12=Th2 到达e点的时刻为 4.2已知一简谐振子的振动曲线如图 e=t+T/2=2T/3 所示,试由图求 (2)设振动表达式为 (1)a,b,c,d,e各点的位相,及到 达这些状态的时刻t各是多少?已知周期为当t=0时,x=A/2时,所以 (2)振 因此 动表达式 =±/3 (3)画 由于零时刻的位相小于a点的位相,所以 出旋转矢量 p=-U/3, 图 因此振动表达式为 [解答] 方法一:由 x=Acos(2π 图6.2 位相求时 另外,在O时刻的曲线上作一切线,由 于速度是位置对时间的变化率,所以切线代 (1)设曲线方程为 表速度的方向 x= acos 由于其斜率大于 其中A表示振幅,φ=ot+ρ表示相位 零,所以速度大 由于x=A,所以 于零,因此初位 相取负值,从而 O 因此 可得运动方程 由于xb=A/2,所以 (3)如图旋 转矢量图所示 因此b=±兀/3 由于位相φ随时间t增加,b点位相就应该二:由时间 大于a点的位相,因此 求位相.将 b=元/3. 曲线反方 由于x=0,所以 向延长与 轴相交于∫ 又由于c点位相大于b位相,因此 点,由于x 0,根据 同理可得其他两点位相为 运动方程,可得 中d=2/3,Φ cos(2T=-I)=0 c点和a点的相位之差为/2,时间之差 为T4,而b点和a点的相位之差为/3,时所以 间之差应该为76.因为b点的位移值与O 时刻的位移值相同,所以到达a点的时刻为 2: 到达b点的时刻为 显然∫点的速度大于零,所以取负值,解得 tb=2la=7/3 到达c点的时刻为 从∫点到达a点经过的时间为74,所 te=la+T/4=5m/12 以到达a点的时刻为 到达d点的时刻为 a=74+4=716,置 x0 = -A 时，φ = π． 4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图 所示，试由图求： （1）a，b，c，d，e 各点的位相，及到 达这些状态的时刻 t 各是多少？已知周期为 T； （2）振 动表达式； （3）画 出旋转矢量 图． [ 解答] 方法一：由 位相求时 间． （1）设曲线方程为 x = AcosΦ， 其中 A 表示振幅，Φ = ωt + φ 表示相位． 由于 xa = A，所以 cosΦa = 1， 因此 Φa = 0． 由于 xb = A/2，所以 cosΦb = 0.5， 因此 Φb = ±π/3； 由于位相 Φ 随时间 t 增加，b 点位相就应该 大于 a 点的位相，因此 Φb = π/3． 由于 xc = 0，所以 cosΦc = 0， 又由于 c 点位相大于 b 位相，因此 Φc = π/2． 同理可得其他两点位相为 Φd = 2π/3，Φe = π． c 点和 a 点的相位之差为 π/2，时间之差 为 T/4，而 b 点和 a 点的相位之差为 π/3，时 间之差应该为 T/6．因为 b 点的位移值与 O 时刻的位移值相同，所以到达 a 点的时刻为 ta = T/6． 到达 b 点的时刻为 tb = 2ta = T/3． 到达 c 点的时刻为 tc = ta + T/4 = 5T/12． 到达 d 点的时刻为 td = tc + T/12 = T/2． 到达 e 点的时刻为 te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为 x = Acos(ωt + φ)， 当 t = 0 时，x = A/2 时，所以 cosφ = 0.5， 因此 φ = ±π/3； 由于零时刻的位相小于 a 点的位相，所以 φ = -π/3， 因此振动表达式为 cos(2 ) 3 t x A T  =  − ． 另外，在 O 时刻的曲线上作一切线，由 于速度是位置对时间的变化率，所以切线代 表速度的方向； 由于其斜率大于 零，所以速度大 于零，因此初位 相取负值，从而 可得运动方程． （3）如图旋 转矢量图所示． 方 法 二：由时间 求位相．将 曲线反方 向延长与 t 轴相交于 f 点，由于 xf = 0，根据 运动方程，可得 cos(2 ) 0 3 t T   − = 所以 2 3 2 f t T    − =  ． 显然 f 点的速度大于零，所以取负值，解得 tf = -T/12． 从 f 点到达 a 点经过的时间为 T/4，所 以到达 a 点的时刻为 ta = T/4 + tf = T/6， O t x a b c d e A/2 A 图 6.2 O x a A b c d e φ O t x a b c d e A/2 A f